Resolva as integrais abaixo:
\int_{1}^{2} \int_{1}^{x} \int_{0}^{x+y} 2 x^{2} y d z d y d x.

Passo 1

O enunciado descreve a integral tripla
\int_{1}^{2}\int_{1}^{x}\int_{0}^{x+y}2x^{2}y\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas por integração iterada. Para resolver, vamos integrar primeiro em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 2

Integramos em z. Como 2x^{2}y é constante em z, temos
\int_{0}^{x+y}2x^{2}y\,dz =2x^{2}y\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} =2x^{2}y\,(x+y).

Passo 3

Substituindo na integral dupla restante,
\int_{1}^{2}\int_{1}^{x}2x^{2}y\,(x+y)\,dy\,dx.
Expandimos o integrando:
2x^{2}y\,(x+y)=2x^{3}y+2x^{2}y^{2}.

Passo 4

Integramos em y:
\int_{1}^{x}(2x^{3}y+2x^{2}y^{2})\,dy =2x^{3}\int_{1}^{x}y\,dy+2x^{2}\int_{1}^{x}y^{2}\,dy.
Calculando cada parte,
2x^{3}\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{1}^{x} +2x^{2}\bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{1}^{x} = x^{3}(x^{2}-1)+\tfrac{2}{3}x^{2}(x^{3}-1).
Somando termos, obtemos
x^{3}(x^{2}-1)+\tfrac{2}{3}x^{2}(x^{3}-1) =\tfrac{5}{3}x^{5}-x^{3}-\tfrac{2}{3}x^{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}\bigl(\tfrac{5}{3}x^{5}-x^{3}-\tfrac{2}{3}x^{2}\bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{5}{18}x^{6}-\tfrac{1}{4}x^{4}-\tfrac{2}{9}x^{3}\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliando em x=2:
\tfrac{5}{18}\cdot2^{6}-\tfrac{1}{4}\cdot2^{4}-\tfrac{2}{9}\cdot2^{3} =\tfrac{160}{9}-4-\tfrac{16}{9} =16-4=12.
Avaliando em x=1:
\tfrac{5}{18}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{9} =\tfrac{10-9-8}{36} =-\tfrac{7}{36}.
Subtraindo o valor em 1 do valor em 2:
12 -\bigl(-\tfrac{7}{36}\bigr) =12+\tfrac{7}{36} =\tfrac{439}{36}.

Resposta

\displaystyle \frac{439}{36}

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