Calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem para as funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{3 x-2}{5 x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
f(x)=\frac{3x-2}{5x}.
O conteúdo principal é diferenciação de funções racional e uso da regra da potência após simplificar a expressão. Vamos reescrever a função num formato que facilite aplicar derivadas e, em seguida, usar as regras de derivada de soma, constante e potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x). Dividindo termo a termo,
f(x)=\frac{3x}{5x}-\frac{2}{5x} =\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\,x^{-1}.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em cada termo. A derivada de \frac{3}{5} é zero e, usando a regra da potência em -\tfrac{2}{5}x^{-1}, obtemos
f'(x) =0 - \frac{2}{5}\cdot(-1)\,x^{-2} =\frac{2}{5}\,x^{-2}.
Em forma mais habitual,
f'(x)=\frac{2}{5x^{2}}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=\tfrac{2}{5}x^{-2}. Usando novamente a regra da potência:
f''(x) =\frac{2}{5}\cdot(-2)\,x^{-3} =-\frac{4}{5}\,x^{-3},
ou seja,
f''(x)=-\frac{4}{5x^{3}}.

Passo 5

Finalmente, a terceira derivada vem de derivar f''(x)=-\tfrac{4}{5}x^{-3}:
f'''(x) =-\frac{4}{5}\cdot(-3)\,x^{-4} =\frac{12}{5}\,x^{-4},
ou
f'''(x)=\frac{12}{5x^{4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{5x^{2}},\quad f''(x)=-\frac{4}{5x^{3}},\quad f'''(x)=\frac{12}{5x^{4}}.

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