Calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem para as funções dadas a seguir.
f(x)=\left(x^{3}-5\right)(2 x+3)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de
f(x) = (x^{3} - 5)(2x + 3).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, para simplificar, vamos primeiro expandir o produto e depois aplicar a regra de derivação de polinômios (regra do poder).

Passo 2

Usando a distributividade, expandimos
f(x) = (x^{3} - 5)(2x + 3)
em duas etapas:
  1. x^{3}\cdot(2x+3)=2x^{4}+3x^{3}
  2. -5\cdot(2x+3)=-10x-15
    Logo,
f(x) = 2x^{4} + 3x^{3} - 10x - 15.

Passo 3

Para obter f'(x), aplicamos a regra do poder termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}\bigr) = 8x^{3},\quad \frac{d}{dx}\bigl(3x^{3}\bigr) = 9x^{2},\quad \frac{d}{dx}\bigl(-10x\bigr) = -10,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-15\bigr) = 0.
Assim,
f'(x) = 8x^{3} + 9x^{2} - 10.

Passo 4

Para f''(x), derivamos f'(x):
\frac{d}{dx}\bigl(8x^{3}\bigr) = 24x^{2},\quad \frac{d}{dx}\bigl(9x^{2}\bigr) = 18x,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-10\bigr) = 0.
Portanto,
f''(x) = 24x^{2} + 18x.

Passo 5

Para f'''(x), derivamos f''(x):
\frac{d}{dx}\bigl(24x^{2}\bigr) = 48x,\quad \frac{d}{dx}\bigl(18x\bigr) = 18.
Logo,
f'''(x) = 48x + 18.

Resposta

f'(x) = 8x^{3} + 9x^{2} - 10 f''(x) = 24x^{2} + 18x f'''(x) = 48x + 18

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