Sem calcular as derivadas sucessivas, encontre a série de MacLaurin para a função f(x)=\arctan \left(x^{2}\right). A partir da série, determine o valor de f^{(10)}(0). (Dica: comece com a série geométrica para \frac{1}{1+u} ).

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\arctan\bigl(x^2\bigr) sem calcular derivadas sucessivas, e em seguida o valor de f^{(10)}(0). Vamos usar séries de potências: primeiro expandir f'(x) via a série geométrica para \tfrac{1}{1+u} e depois integrar termo a termo para obter f(x).

Passo 2

Calculemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\arctan\bigl(x^2\bigr)=\frac{2x}{1+x^4}.
Na fórmula da série geométrica temos
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n,\quad |u|<1.
Tomando u=x^4, vem
\frac{1}{1+x^4}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{4n},
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f'(x)=2x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{4n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,2\,x^{4n+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo para achar f(x):
f(x)=\int f'(x)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int 2\,x^{4n+1}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2\,x^{4n+2}}{4n+2}+C.
Como f(0)=\arctan(0)=0, temos C=0. Note que
\frac{2}{4n+2}=\frac{1}{2n+1},
então a série de Maclaurin é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{4n+2}.

Passo 4

Na forma geral de uma série de Maclaurin, f(x)=\sum_{k=0}^\infty\bigl(f^{(k)}(0)/k!\bigr)x^k. Queremos k=10. No nosso somatório aparece o termo x^{4n+2}; para 4n+2=10 obtemos n=2. O coeficiente desse termo é
a_{10}=\frac{(-1)^2}{2\cdot2+1}=\frac{1}{5},
ou seja
\frac{f^{(10)}(0)}{10!}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 10!, vem
f^{(10)}(0)=10!\,\frac{1}{5} =\frac{3628800}{5} =725760.

Resposta

f^{(10)}(0)=725760.

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