Sem calcular as derivadas sucessivas, encontre a série de MacLaurin para a função
. A partir da série, determine o valor de
. (Dica: comece com a série geométrica para
).
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
sem calcular derivadas sucessivas, e em seguida o valor de
. Vamos usar séries de potências: primeiro expandir
via a série geométrica para
e depois integrar termo a termo para obter
.
Passo 2
Calculemos
Na fórmula da série geométrica temos
Tomando
, vem
logo
Passo 3
Agora integramos termo a termo para achar
:
Como
, temos
. Note que
então a série de Maclaurin é
Passo 4
Na forma geral de uma série de Maclaurin,
. Queremos
. No nosso somatório aparece o termo
; para
obtemos
. O coeficiente desse termo é
ou seja
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, vem