Calcule o seguinte limite utilizando séries de MacLaurin. Justifique por que este método é aplicável.
Passo 1
O enunciado pede
usando séries de Maclaurin. As funções
e
são analíticas em
, logo podem ser expandidas em série de potências em torno de
, com resto que é
.
Passo 2
Expandimos
até a ordem
.
Passo 3
Expandimos
até a ordem
.
Passo 4
Substituímos as séries no numerador e simplificamos:
Os termos em
cancelam e em
temos
Ficam só os termos em
:
Dividindo por
e fazendo
, obtemos
.