Calcule o seguinte limite utilizando séries de MacLaurin. Justifique por que este método é aplicável.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-\cos (x)-\frac{3}{2} x^{2}}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-\cos(x)-\tfrac{3}{2}x^{2}}{x^{4}}
usando séries de Maclaurin. As funções e^{x^{2}} e \cos(x) são analíticas em \mathbb{R}, logo podem ser expandidas em série de potências em torno de x=0, com resto que é o(x^{n}).

Passo 2

Expandimos e^{x^{2}} até a ordem x^{4}.
e^{x^{2}} =1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + o(x^{4}).

Passo 3

Expandimos \cos(x) até a ordem x^{4}.
\cos(x) =1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}).

Passo 4

Substituímos as séries no numerador e simplificamos:
e^{x^{2}} - \cos(x) - \tfrac{3}{2}x^{2} =\Bigl(1 + x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}\Bigr) -\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24}\Bigr) -\tfrac{3}{2}x^{2} +o(x^{4}).
Os termos em 1 cancelam e em x^{2} temos
x^{2} + \tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{3}{2}x^{2}=0.
Ficam só os termos em x^{4}:
\tfrac{x^{4}}{2} - \tfrac{x^{4}}{24} =\frac{12-1}{24}\,x^{4} =\frac{11}{24}\,x^{4} +o(x^{4}).
Dividindo por x^{4} e fazendo x\to0, obtemos \tfrac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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