a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, P_{3}(x), para a função f(x)= \sqrt[3]{1+x} centrado em a=0.
b) Use P_{3}(x) para aproximar o valor de \sqrt[3]{1.1}.
c) Utilize a Desigualdade de Taylor (ou a Fórmula do Resto de Lagrange) para estimar um limite superior para o erro absoluto \left|R_{3}(0.1)\right| da sua aproximação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre f(x)=\sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3} centrado em a=0:
– (a) obter o polinômio de Taylor de grau 3, P_3(x);
– (b) usar P_3 para aproximar \sqrt[3]{1{,}1}=f(0,1);
– (c) estimar um limite superior para o erro \bigl|R_3(0{,}1)\bigr| via resto de Lagrange.

Passo 2

Precisamos de f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0). Calculando as derivadas:
f(x)=(1+x)^{1/3},\quad f'(x)=\tfrac13(1+x)^{-2/3},\quad f''(x)=-\tfrac{2}{9}(1+x)^{-5/3},\quad f'''(x)=\tfrac{10}{27}(1+x)^{-8/3}.
Em x=0 isso dá
f(0)=1,\quad f'(0)=\tfrac13,\quad f''(0)=-\tfrac{2}{9},\quad f'''(0)=\tfrac{10}{27}.
O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de 0 é
P_3(x) = f(0) +f'(0)\,x +\frac{f''(0)}{2!}\,x^2 +\frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 =1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5\,x^3}{81}.

Passo 3

Para aproximar \sqrt[3]{1{,}1}=f(0{,}1), basta calcular P_3(0{,}1):
P_3(0{,}1) =1+\frac{0{,}1}{3}-\frac{(0{,}1)^2}{9}+\frac{5\,(0{,}1)^3}{81} =1+0{,}0333333-0{,}0011111+0{,}0000617\approx1{,}03228.

Passo 4

O resto de Lagrange é
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,x^4 \quad\text{para algum }\xi\in(0,x).
Como
f^{(4)}(x) =\bigl(\tfrac{10}{27}(1+x)^{-8/3}\bigr)' =-\tfrac{80}{81}(1+x)^{-11/3},
temos \bigl|f^{(4)}(\xi)\bigr|\le \tfrac{80}{81} para \xi\in[0,0{,}1]. Logo
\bigl|R_3(0{,}1)\bigr| \le\frac{80/81}{4!}\,(0{,}1)^4 =\frac{80}{81}\cdot\frac{0{,}0001}{24} \approx4{,}12\times10^{-6}.

Resposta

a) \displaystyle P_3(x)=1+\tfrac{x}{3}-\tfrac{x^2}{9}+\tfrac{5x^3}{81}.
b) \displaystyle \sqrt[3]{1{,}1}\approx P_3(0{,}1)\approx1{,}03228.
c) \displaystyle |R_3(0{,}1)|\le4{,}12\times10^{-6}.

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