a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3, P_{3}(x), para a função f(x)=\sqrt[3]{1+x} centrado em a=0.
b) Use P_{3}(x) para aproximar o valor de \sqrt[3]{1.1}.
c) Utilize a Desigualdade de Taylor (ou a Fórmula do Resto de Lagrange) para estimar um limite superior para o erro absoluto \left|R_{3}(0.1)\right| da sua aproximação.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre f(x)=\sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3} centrado em a=0:
– (a) obter o polinômio de Taylor de grau 3, P_3(x);
– (b) usar P_3 para aproximar \sqrt[3]{1{,}1}=f(0,1);
– (c) estimar um limite superior para o erro \bigl|R_3(0{,}1)\bigr| via resto de Lagrange.
Passo 2
Precisamos de f(0), f'(0), f''(0) e f'''(0). Calculando as derivadas:
a) \displaystyle P_3(x)=1+\tfrac{x}{3}-\tfrac{x^2}{9}+\tfrac{5x^3}{81}.
b) \displaystyle \sqrt[3]{1{,}1}\approx P_3(0{,}1)\approx1{,}03228.
c) \displaystyle |R_3(0{,}1)|\le4{,}12\times10^{-6}.