Calcular o determinante das matrizes do exercício 9 e das seguintes matrizes
A=(cccc1 & 1 & 3 & 2 0 & 1 & -4 & 1 0 & 0 & 2 & 1 2 & 1 & 1 & 3) e B=(cccc0 & 1 & 3 & 1 2 & 1 & -4 & 2 2 & 3 & 2 & 3 1 & 0 & 2 & 3)

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o determinante das matrizes A e B. O determinante é uma função que nos dá um número que pode dizer várias coisas sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para isso, vamos usar o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre cálculo de determinantes de matrizes 4x4. Precisamos saber como expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A. A matriz A é uma matriz 4x4, então vamos usar a expansão de Laplace para facilitar. Vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha.
A matriz A é:
A = 1 & 1 & 3 & 2 0 & 1 & -4 & 1 0 & 0 & 2 & 1 2 & 1 & 1 & 3

Passo 3

Para calcular det(A), vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha, que é 1. A fórmula para o determinante usando a expansão de Laplace é:
det(A) = a11 cdot det(M11) - a12 cdot det(M12) + a13 cdot det(M13) - a14 cdot det(M14)
Onde Mij é a matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada menor M1j:
  1. Para M11:
Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
M11 = 1 & -4 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3
  1. Para M12:
Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
M12 = 0 & -4 & 1 0 & 2 & 1 2 & 1 & 3
  1. Para M13:
Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
M13 = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 2 & 1 & 3
  1. Para M14:
Removemos a primeira linha e a quarta coluna:
M14 = 0 & 1 & -4 0 & 2 & 1 2 & 1 & 1

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes dessas menores:
  1. det(M11):
det(M11) = 1 cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) - (-4) cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 1) = 1 cdot (6 - 1) - (-4) cdot (-1) + 1 cdot (-2) = 5 - 4 - 2 = -1
  1. det(M12):
det(M12) = 0 cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) - (-4) cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 2) = 0 - (-4) cdot (-2) + 1 cdot (-4) = 0 - 8 - 4 = -12
  1. det(M13):
det(M13) = 0 cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 2) = 0 - 1 cdot (-2) + 1 cdot (-4) = 0 + 2 - 4 = -2
  1. det(M14):
det(M14) = 0 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot -4) - 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2) + (-4) cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 2) = 0 - 1 cdot (-2) + (-4) cdot (-4) = 0 + 2 + 16 = 18

Passo 6

Agora, aplicamos os valores encontrados na fórmula do determinante:
det(A) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-12) + 3 cdot (-2) - 2 cdot 18 = -1 + 12 - 6 - 36 = -31

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B:
B = 0 & 1 & 3 & 1 2 & 1 & -4 & 2 2 & 3 & 2 & 3 1 & 0 & 2 & 3
Vamos usar a mesma técnica de expansão de Laplace, escolhendo a primeira linha para facilitar.

Passo 8

Aplicando a expansão de Laplace na primeira linha da matriz B:
det(B) = b11 cdot det(N11) - b12 cdot det(N12) + b13 cdot det(N13) - b14 cdot det(N14)
Onde N1j são as menores de B removendo a primeira linha e a j-ésima coluna.

Passo 9

Calculando cada menor N1j:
  1. Para N11:
N11 = 1 & -4 & 2 3 & 2 & 3 0 & 2 & 3
  1. Para N12:
N12 = 2 & -4 & 2 2 & 2 & 3 1 & 2 & 3
  1. Para N13:
N13 = 2 & 1 & 2 2 & 3 & 3 1 & 0 & 3
  1. Para N14:
N14 = 2 & 1 & -4 2 & 3 & 2 1 & 0 & 2

Passo 10

Calculando os determinantes dessas menores:
  1. det(N11):
det(N11) = 1 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 2) - (-4) cdot (3 cdot 3 - 0 cdot 2) + 2 cdot (3 cdot 2 - 2 cdot 2) = 1 cdot (6 - 6) - (-4) cdot (9 - 0) + 2 cdot (6 - 4) = 0 + 36 + 4 = 40
  1. det(N12):
det(N12) = 2 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 2) - (-4) cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) + 2 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 2) = 2 cdot (6 - 6) - (-4) cdot (6 - 1) + 2 cdot (4 - 2) = 0 + 20 + 4 = 24
  1. det(N13):
det(N13) = 2 cdot (3 cdot 3 - 0 cdot 3) - 1 cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 1) + 2 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 3) = 2 cdot 9 - 1 cdot (6 - 1) + 2 cdot (0 - 3) = 18 - 5 - 6 = 7
  1. det(N14):
det(N14) = 2 cdot (3 cdot 2 - 0 cdot 2) - 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 2) + (-4) cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 3) = 2 cdot (6 - 0) - 1 cdot (4 - 2) + (-4) cdot (0 - 3) = 12 - 2 + 12 = 22

Passo 11

Aplicando os valores na fórmula do determinante:
det(B) = 0 cdot 40 - 1 cdot 24 + 3 cdot 7 - 1 cdot 22 = 0 - 24 + 21 - 22 = -25

Resposta

O determinante da matriz A é -31 e o determinante da matriz B é -25.

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