Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[cccc0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 3 & 0 2 & 1 & 5 & -3]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 3 & 0 2 & 1 & 5 & -3
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Vamos usar o método de Gauss–Jordan, formando a matriz aumentada [Amid I4] e reduzi-la até [I4mid A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial e fazemos o pivô em (1,1). Como A2,1=1, trocamos R1rightarrow R2 e eliminamos a entrada (4,1):
[Amid I] xrightarrowR1rightarrow R2 1 & 0 & 0 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1& 3 & 0 &mid& 0 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 5 & -3&mid& 0 & 0 & 0 & 1 xrightarrowR4to R4-2R1 1 & 0 & 0 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1& 3 & 0 &mid& 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 5 & -5&mid& 0 & -2& 0 & 1

Passo 3

Agora pivoteamos na coluna 2. Trocamos R2rightarrow R4 para ter pivô igual a 1 em (2,2) e eliminamos A3,2:
1 & 0 & 0 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & -5&mid& 0 & -2& 0 & 1 0 & -1& 3 & 0 &mid& 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 & 0 xrightarrowR3to R3+R2 1 & 0 & 0 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & -5&mid& 0 & -2& 0 & 1 0 & 0 & 8 & -5&mid& 0 & -2& 1 & 1 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Pivoteamos na coluna . Dividimos por para obter pivô e usamos para zerar as outras entradas nessa coluna:

Passo 5

Por fim, pivoteamos na coluna . Dividimos por e usamos-o para zerar as entradas acima:
Observe que a parte esquerda é agora , logo é invertível e a parte direita é .

Resposta

A^-1 = -tfrac45 & tfrac35 & tfrac15 & tfrac15 [6pt] tfrac32 & 0 & -1 & 0 [6pt] tfrac12 & 0 & 0 & 0 [6pt] tfrac45 & tfrac25 & -tfrac15& -tfrac15 ]

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