Determine a TL T que projeta ortogonalmente cada vetor do:
R^3 no eixo y

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear Tcolon R^3toR^3 que faz a projeção ortogonal de cada vetor (x,y,z) no eixo y. O conteúdo necessário é a definição de projeção ortogonal num espaço euclidiano, usando produto interno canônico e base canônica.

Passo 2

Em R^3 com produto interno padrão, o eixo y é gerado pelo vetor unitário e2=(0,1,0). A projeção ortogonal de v=(x,y,z) sobre e2 é
T(v)=lang<= v,e2rang<=,e2,
onde lang<= v,e2rang<= = xcdot0 + ycdot1 + zcdot0 = y. Logo
T(x,y,z)=y,(0,1,0)=(0,y,0)

Passo 3

Para escrever T na base canônica e1,e2,e3, note que
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,0)
As colunas da matriz de T são essas imagens:
M(T)= 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

A projeção ortogonal no eixo y é
T(x,y,z)=(0,y,0),
cuja matriz na base canônica é
0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

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