Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 1 2 3 ]
tem infinitas soluções.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz At que depende de um parâmetro t , e queremos descobrir para quais valores de t o sistema de equações At x y z = 1 2 3 tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar a técnica de escalonamento, que é uma forma de simplificar o sistema para encontrar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações correspondente à matriz At :
1x + ty + 0z = 1 0x + 1y + tz = 2 tx + 0y + 1z = 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz aumentada em uma forma escalonada para identificar possíveis soluções.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & t & 0 & | & 1 0 & 1 & t & | & 2 t & 0 & 1 & | & 3
Agora, vamos realizar operações elementares para escalonar essa matriz.

Passo 4

Primeiro, queremos eliminar o termo t abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos t vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - t cdot R1
Aplicando essa operação:
1 & t & 0 & | & 1 0 & 1 & t & | & 2 0 & -t^2 & 1 & | & 3 - t

Passo 5

Agora, vamos eliminar o termo -t^2 na posição (3,2). Para isso, somamos t^2 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + t^2 cdot R2
Fazendo isso:
1 & t & 0 & | & 1 0 & 1 & t & | & 2 0 & 0 & t^3 + 1 & | & 3 - t + 2t^2

Passo 6

Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que haja pelo menos uma equação redundante, ou seja, que a última linha seja 0 = 0 . Isso acontece quando o coeficiente de z na terceira equação é zero e o lado direito também é zero. Portanto, devemos ter:
t^3 + 1 = 0 e 3 - t + 2t^2 = 0

Passo 7

Resolvendo a primeira equação:
t^3 + 1 = 0 implies t^3 = -1 implies t = -1
Agora, substituímos t = -1 na segunda equação para verificar:
3 - (-1) + 2(-1)^2 = 3 + 1 + 2 = 6 neq 0
Isso significa que t = -1 não satisfaz a segunda equação. Portanto, não há valor real de t que faça ambas as equações serem verdadeiras simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum valor real de t para o qual o sistema tenha infinitas soluções.

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