Calcular o determinante das matrizes seguintes :
(rrr 2 & 1 & 3 2 & 1 & -1 -1 & -3 & 2 ), (rrr 1 & 2 & 3 -3 & 1 & 2 -2 & 3 & 1 ), (rrrr 1 & 15 & 14 & 4 12 & 6 & 7 & 9 8 & 10 & 11 & 5 13 & 3 & 2 & 16 )

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular os determinantes de três matrizes (duas 3×3 e uma 4×4). O conteúdo principal aqui é determinantes de matrizes: para as 3×3 vamos usar a expansão de Laplace (ou regra de Sarrus) e, para a 4×4, usaremos operações elementares de linha para reduzir a primeira coluna e depois a fórmula de bloco triangular. Não faremos suposições prévias, explicando cada passo.

Passo 2

Para a primeira matriz
A=2 & 1 & 3 2 & 1 & -1 -1 & -3 & 2
aplicamos a expansão de Laplace pela primeira linha:
det(A)=2det1 & -1 -3 & 2-1det2 & -1 -1 & 2+3det2 & 1 -1 & -3
Agora calculamos cada menor:
det1 & -1 -3 & 2=1cdot2-(-1)cdot(-3)=2-3=-1,
det2 & -1 -1 & 2=2cdot2-(-1)cdot(-1)=4-1=3,
det2 & 1 -1 & -3=2cdot(-3)-1cdot(-1)=-6+1=-5
Substituindo:
det(A)=2(-1)-1(3)+3(-5)=-2-3-15=-20

Passo 3

Para a segunda matriz
B=1 & 2 & 3 -3 & 1 & 2 -2 & 3 & 1,
fazemos Laplace pela primeira linha:
det(B)=1det1 & 2 3 & 1-2det-3 & 2 -2 & 1+3det-3 & 1 -2 & 3
Os menores são:
det1 & 2 3 & 1=1cdot1-2cdot3=1-6=-5,
det-3 & 2 -2 & 1=(-3)cdot1-2cdot(-2)=-3+4=1,
det-3 & 1 -2 & 3=(-3)cdot3-1cdot(-2)=-9+2=-7
Logo:
det(B)=1(-5)-2(1)+3(-7)=-5-2-21=-28

Passo 4

Para a terceira matriz 4×4
C=1 & 15 & 14 & 4 12 & 6 & 7 & 9 8 & 10 & 11 & 5 13 & 3 & 2 & 16,
vamos anular os elementos abaixo de 1 na primeira coluna usando operações de linha que não alteram o determinante:
R2←R2−12R1, R3←R3−8R1, R4←R4−13R1. O determinante de C fica igual a 1 vezes o determinante do sub-bloco 3×3 que sobra:
M=-174 & -161 & -39 -110 & -101 & -27 -192 & -180 & -36
Agora calculamos det(M) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(M)=-174det-101 & -27 -180 & -36+161det-110 & -27 -192 & -36-39det-110 & -101 -192 & -180
Cada menor dá respectivamente -1224, -1224 e 408. Logo:
det(M)=(-174)(-1224)+161(-1224)-39(408)=212976-197064-15912=0
Como não houve troca de linhas, det(C)=1cdot0=0

Resposta

Os determinantes são: -20, -28 e 0.

Exercícios relacionados