Provar, sem calcular, que o determinante seguinte é nulo
Passo 1
O enunciado pede provar, sem fazer cálculo explícito do determinante, que a matriz abaixo tem determinante nulo; o conteúdo envolvido é determinantes e dependência linear de linhas. Para isso vamos usar o fato de que se as linhas de uma matriz são dependentes linearmente, então o determinante é zero.
Passo 2
Vamos chamar a matriz de
A= 84 & 35 & 62 8 & 3 & 6 4 & 5 & 2
e denotar suas linhas por L1, L2, L3. O teorema diz que se houver escalares alpha,beta tais que
L1=alpha L2+beta L3,
então as linhas são dependentes e portanto det(A)=0.
Passo 3
Para encontrar alpha e beta, escrevemos componente a componente:
8alpha+4beta=84, 3alpha+5beta=35, 6alpha+2beta=62
Passo 4
Resolvendo o sistema, da primeira equação vem beta=21-2alpha. Substituindo na segunda temos
3alpha+5(21-2alpha)=35implies -7alpha=-70implies alpha=10,
e então beta=21-2cdot10=1. Verificando na terceira equação: 6cdot10+2cdot1=60+2=62,que confere. Logo
L1=10L2+1L3
e as linhas são dependentes lineares, implicando det(A)=0.