Seja T: R^3 R^3 tal que f(x, y, z)=(7 y-6 z,-x+4 y, 2 y-2 z).
a. Achar [T].
b. Provar que B=(9,3,2),(5,1,2),(4,2,1) é uma base de R^3 e achar a matriz de passagem da base canonica para a base B.
c. Achar [T]B^B.
d. Calcular A^n, para todo n in N^*.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear T: R^3to R^3 dada por T(x,y,z)=(7y-6z,,-x+4y,,2y-2z). Precisamos: achar a matriz padrão [T], mostrar que B=(9,3,2),(5,1,2),(4,2,1) é base e obter a matriz de passagem da base canônica para B, calcular [T]B^B e, por fim, elevar a matriz A=[T]B^B à potência n para nin N^*.

Passo 2

Para achar [T] na base canônica, aplicamos T aos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
T(e1)=(0,-1,0), T(e2)=(7,4,2), T(e3)=(-6,0,-2)
Assim,
[T]=0&7&-6-1&4&00&2&-2

Passo 3

Para provar que B é base, formamos a matriz de colunas iguais aos vetores de B:
P=9&5&43&1&22&2&1
Calculando o determinante,
det(P)=9(1cdot1-2cdot2)-5(3cdot1-2cdot2)+4(3cdot2-1cdot2)=-6neq0
Como det(P)ne0, os vetores são LI e formam base. A matriz de passagem da base canônica para B é justamente
P=9&5&43&1&22&2&1

Passo 4

Para obter [T]B^B, calculamos T em cada vetor de B e expressamos em B:
  1. Para v1=(9,3,2):
T(v1)=(9,3,2)=1,v1+0,v2+0,v3
  1. Para v2=(5,1,2):
T(v2)=(-5,-1,-2)=-1,v2
  1. Para v3=(4,2,1):
T(v3)=(8,4,2)=2,v3
Logo,
[T]B^B=1&0&00&-1&00&0&2

Passo 5

Denotando A=[T]B^B, temos
A=diag(1,-1,2)
Como a potência de uma matriz diagonal é a potência de cada entrada, para todo nin N^*
A^n=diag(1^n,(-1)^n,2^n)=diag(1,(-1)^n,2^n)

Resposta

(a)
[T]=0&7&-6-1&4&00&2&-2
(b) Como det P=-6neq0, B é base e a matriz de passagem da base canônica para B é
P=9&5&43&1&22&2&1
©
[T]B^B=1&0&00&-1&00&0&2
(d)
A^n=diag(1,(-1)^n,2^n), para todo nin N^*.

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