Calcular o determinante de A pelo processo de desenvolvimento por uma linha, onde A= (cccc-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1) (R:-55)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para
A = -2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
usando o desenvolvimento por uma linha. O conteúdo principal é entender cofatores e como expandir o determinante ao longo de uma linha.

Passo 2

Escolhemos desenvolver ao longo da segunda linha de A, pois nela há um zero, o que simplifica. Em geral,
det(A)=sumj=1^4(-1)^2+j,a2j,det(M2j),
onde M2j é a matriz que sobra de A ao remover a linha 2 e a coluna j. Como a22=0, só restam três termos:
det(A) =(-1)^2+1a21det(M21) +(-1)^2+3a23det(M23) +(-1)^2+4a24det(M24)
Substituindo a21=-1, a23=1, a24=-2 e os sinais, fica
det(A) = (+1)det(M21) - det(M23) -2,det(M24)

Passo 3

Calculamos det(M21). A matriz M21 é
M21 = -3 & -1 & -2 -1 & -4 & 1 2 & -3 & -1
Pelo desenvolvimento na primeira linha de M21:
det(M21) =-3det-4 & 1-3 & -1 -(-1)det-1 & 12 & -1 +(-2)det-1 & -42 & -3
Agora os menores 2times 2:
det-4 & 1-3 & -1 =(-4)(-1)-1(-3)=7, det-1 & 12 & -1 =1-2=-1,
det-1 & -42 & -3 =(-1)(-3)-(-4)2=11
Logo
det(M21) =-3cdot7 -(-1)cdot(-1) +(-2)cdot11 =-21-1-22 =-44

Passo 4

Para M23, removendo linha 2 e coluna 3 de A, temos
M23 = -2 & -3 & -2 -3 & -1 & 1 -2 & 2 & -1
Desenvolvendo na primeira linha:
det(M23) =-2det-1 & 12 & -1 -(-3)det-3 & 1-2 & -1 +(-2)det-3 & -1-2 & 2
Calculando os menores:
det-1 & 12 & -1=-1,
det-3 & 1-2 & -1=5,
det-3 & -1-2 & 2=-8.
Assim
det(M23) =-2cdot(-1)+3cdot5+(-2)cdot(-8) =2+15+16 =33

Passo 5

Para M24, removendo linha 2 e coluna 4 de A, fica
M24 = -2 & -3 & -1 -3 & -1 & -4 -2 & 2 & -3
Desenvolvendo na primeira linha:
det(M24) =-2det-1 & -42 & -3 -(-3)det-3 & -4-2 & -3 +(-1)det-3 & -1-2 & 2
Menores:
det-1 & -42 & -3=11,
det-3 & -4-2 & -3=1,
det-3 & -1-2 & 2=-8.
Logo
det(M24) =-2cdot11+3cdot1+(-1)cdot(-8) =-22+3+8 =-11

Passo 6

Voltando à fórmula
det(A) =det(M21) - det(M23) -2,det(M24) =(-44) - 33 -2cdot(-11) =-44-33+22 =-55

Resposta

-55

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