Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=M2(R), determine o subespaço gerado por S=(ll-1 & 2 -2 & 3),(cc3 & -1 1 & 1).

Passo 1

O enunciado está em V = M2(R) e nos dá
S = A=-1 & 2[6pt]-2 & 3,;B=3 & -1[6pt]1 & 1
Queremos o subespaço
U = lang<= Srang<= = alpha A + beta B:alpha,betainR.
O conteúdo é “geração de subespaço” e vamos escrever a combinação linear geral, igualar às entradas de uma matriz genérica e extrair as restrições.]

Passo 2

Escrevemos
alpha A + beta B =alpha-1 & 2[3pt]-2 & 3 +beta3 & -1[3pt]1 & 1 = -,alpha+3beta & 2alpha-beta[4pt] -,2alpha+beta & 3alpha+beta
Chame essa matriz de
M=m11&m12[3pt]m21&m22.
]

Passo 3

Igualando entradas, obtemos o sistema
m11 = -alpha + 3beta,[3pt] m12 = 2alpha - beta,[3pt] m21 = -2alpha + beta,[3pt] m22 = 3alpha + beta
Como há 4 equações para 2 incógnitas, isso impõe duas condições lineares sobre mij.]

Passo 4

Da segunda e terceira equações vem
m21 = -2alpha + beta = -l(2alpha - betar) = -,m12
Das primeiras e últimas equações, resolvendo
;m11=-alpha+3beta,;m22=3alpha+beta;
para alpha,beta e substituindo em m12=2alpha-beta, chega-se a
m12 = m22-m112
Logo as duas restrições são
m21=-m12, m12=m22-m112

Passo 5

Portanto
U=lM= m11&m12[3pt] m21&m22 in M2(R) ;|; m21=-m12,; m12=tfracm22-m112 r
Tomando parâmetros a=m11 e b=m22, fica
U=l a & tfracb-a2[3pt] tfraca-b2 & b : a,binR r,
que é um subespaço de dimensão 2 em M2(R).]

Resposta

U=l alpha-1 & 2[3pt]-2 & 3 +beta3 & -1[3pt]1 & 1 :alpha,betainRr =l a & tfracb-a2[3pt] tfraca-b2 & b :a,binRr ]

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