Desenvolva o determinante da matriz A=(lll2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3) usando o desenvolvimento por uma linha. Calcule o mesmo determinante usando o processo de triangulação.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A=2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3
por dois métodos: desenvolvimento por co-fatores ao longo de uma linha e pelo processo de triangulação usando operações elementares de linha.

Passo 2

Desenvolvimento por co-fatores na primeira linha.
det(A)=a11C11+a12C12+a13C13
com a11=2, a12=1, a13=3 e
Cij=(-1)^i+jMij,
onde Mij é o menor de ordem 2 obtido ao riscar a linha i e a coluna j.

Passo 3

Cálculo dos menores e cofatores:
M11=det2&25&3=2cdot3-2cdot5=-4, C11=(-1)^1+1(-4)=-4,
M12=det4&22&3=4cdot3-2cdot2=8, C12=(-1)^1+2(8)=-8,
M13=det4&22&5=4cdot5-2cdot2=16, C13=(-1)^1+3(16)=16

Passo 4

Substituindo na expansão:
det(A)=2cdot(-4)+1cdot(-8)+3cdot16=-8-8+48=32

Passo 5

Triangulação por operações de linha (sem alterar o determinante, exceto trocas de linha):
2&1&34&2&22&5&3 longrightarrow 2&1&30&0&-40&4&0

Passo 6

Como o pivô da segunda linha ficou zero, efetuamos a troca R2rightarrow R3, o que multiplica o determinante por -1:
2&1&30&0&-40&4&0 longrightarrow 2&1&30&4&00&0&-4
Agora a matriz é triangular e
det(A)=-1cdot(2cdot4cdot(-4))=-1cdot(-32)=32

Resposta

det(A)=32

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