Seja r a reta que passa pelo ponto A(2,-5,4) e B(-3,2,-1),
Obtenha a equação vetorial da reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelos pontos A(2,-5,4) e B(-3,2,-1). Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver isso. Precisamos achar um vetor diretor da reta e um ponto por onde ela passa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Isso é basicamente um vetor que mostra a direção da reta. Para isso, pegamos as coordenadas dos pontos A e B e subtraímos as componentes de A das de B:
AB = B - A = (-3 - 2, , 2 - (-5), , -1 - 4) = (-5, 7, -5)
Então, o vetor diretor é d = (-5, 7, -5).

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, podemos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta no espaço é geralmente escrita assim:
r = r0 + td
Onde:
  • r0 é o vetor posição de um ponto da reta (pode ser A ou B),
  • d é o vetor diretor,
  • t é um parâmetro real.

Passo 4

Vamos escolher o ponto A(2,-5,4) como referência. Então, o vetor posição r0 é (2, -5, 4). Substituindo na fórmula:
r = (2, -5, 4) + t(-5, 7, -5)
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado adicionando uma múltipla do vetor diretor ao ponto A.

Resposta

A equação vetorial da reta r é:
r = (2, -5, 4) + t,(-5, 7, -5), t in R

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