Calcular os determinantes seguintes:
cccc1 & 1 & 1 & 1 cos x & cos y & cos z & cos t cos 2 x & cos 2 y & cos 2 z & cos 2 t cos 3 x & cos 3 y & cos 3 z & cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede três determinantes distintos: (1) um 4×4 cujas entradas são 1, cos kα e cos kβ etc., (2) uma matriz n×n com padrão de valores j ou –j dependendo da posição, e (3) uma matriz n×n dada por a_{ij}=|i−j|. Vamos usar polinômios de Chebyshev e determinante de Vandermonde no primeiro, operações elementares e indução no segundo, e identificação de matriz de distâncias com relação de recorrência no terceiro.

Passo 2

No primeiro determinante, note que cos (kα)=T_k(cos α), onde T_k é o polinômio de Chebyshev de grau k e coeficiente líder 2^{k−1} (para k≥1, e T_0=1). Se definirmos u_1=cos x, u_2=cos y, u_3=cos z, u_4=cos t, a matriz torna-se M_{ij}=T_{i−1}(u_j). O determinante de uma matriz P_{i−1}(u_j) é o produto dos coeficientes líderes vezes o Vandermonde em u_j.
Aplicando isso, os coeficientes líderes das linhas 2, 3 e 4 são 1, 2 e 4, respectivamente. Assim
D1=1cdot2cdot4prod1<= i

Passo 3

Para o segundo determinante D_n, faça para i=n,n−1,…,2 a operação de linha R_i←R_i−R_{i−1}. Isso transforma as linhas 2…n em vetores com único pivô −(i−1) na coluna i−1, deixando a expansão por cofator ao longo da última coluna trivial. O resultado é
Dn=ntimes(−1)^n+1prodk=1^n-1(-k)=n!

Passo 4

Para o terceiro determinante D’n da matriz M{ij}=|i-j|, usa-se uma combinação de subtrações de linhas consecutivas (R_i←R_i−R_{i-1}) e colunas consecutivas, ou uma prova por indução conhecida, que leva à fórmula fechada
D'n=(-1)^n-1(n-1)2^n-2

Resposta

(1) 8 \displaystyle\prod_{1\le i<j\le4}(\cos\alpha_j-\cos\alpha_i)
(2) n!
(3) (-1){n-1}(n-1)2{n-2}

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