Dado
espaço vetorial sobre os complexos e seja
linearmente independentes. Prove que
e
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um espaço vetorial sobre ℂ, se α, β, γ são linearmente independentes, então os vetores α+β, β+γ e α+γ também são linearmente independentes. O conteúdo é independência linear e vamos precisar da definição: uma combinação linear nula implica coeficientes todos nulos.
Passo 2
Assumimos uma combinação linear genérica desses três vetores igual a zero, ou seja, existem escalares a, b, c ∈ ℂ tais que
Aqui usamos a propriedade de linearidade: podemos distribuir cada escalar.
Expandindo e agrupando termos semelhantes em α, β e γ, obtemos
Expandindo e agrupando termos semelhantes em α, β e γ, obtemos
Passo 3
Como α, β e γ são linearmente independentes por hipótese, a combinação acima só pode ser nula se cada coeficiente for zero. Logo temos o sistema:
Para resolver, de a + b = 0 tiramos b = -a; de b + c = 0 segue c = -b = a. Substituindo em a + c = 0 dá
(lembrando que em ℂ não há divisor de zero que anule 2). Então b = -a = 0 e c = a = 0.
Passo 4
Como a = b = c = 0 é a única solução possível, concluímos que α+β, β+γ e α+γ são linearmente independentes.
Essa demonstração funciona porque usamos a definição de independência linear e resolvemos um sistema de equações lineares sobre ℂ.
Essa demonstração funciona porque usamos a definição de independência linear e resolvemos um sistema de equações lineares sobre ℂ.
Resposta
Os vetores α+β, β+γ e α+γ são linearmente independentes, pois a única combinação linear que os zera tem coeficientes todos iguais a zero.