Dado V espaço vetorial sobre os complexos e seja alpha, beta, gamma in V linearmente independentes. Prove que alpha+beta, beta+gamma e alpha+gamma são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um espaço vetorial sobre ℂ, se α, β, γ são linearmente independentes, então os vetores α+β, β+γ e α+γ também são linearmente independentes. O conteúdo é independência linear e vamos precisar da definição: uma combinação linear nula implica coeficientes todos nulos.

Passo 2

Assumimos uma combinação linear genérica desses três vetores igual a zero, ou seja, existem escalares a, b, c ∈ ℂ tais que
a(α+β) + b(β+γ) + c(α+γ) = 0
Aqui usamos a propriedade de linearidade: podemos distribuir cada escalar.
Expandindo e agrupando termos semelhantes em α, β e γ, obtemos
aα + aβ + bβ + bγ + cα + cγ = (a+c)α + (a+b)β + (b+c)γ = 0

Passo 3

Como α, β e γ são linearmente independentes por hipótese, a combinação acima só pode ser nula se cada coeficiente for zero. Logo temos o sistema:
a + c = 0, a + b = 0,b + c = 0
Para resolver, de a + b = 0 tiramos b = -a; de b + c = 0 segue c = -b = a. Substituindo em a + c = 0 dá
a + a = 0 ,Rightarrow, 2a = 0 ,Rightarrow, a = 0
(lembrando que em ℂ não há divisor de zero que anule 2). Então b = -a = 0 e c = a = 0.

Passo 4

Como a = b = c = 0 é a única solução possível, concluímos que α+β, β+γ e α+γ são linearmente independentes.
Essa demonstração funciona porque usamos a definição de independência linear e resolvemos um sistema de equações lineares sobre ℂ.

Resposta

Os vetores α+β, β+γ e α+γ são linearmente independentes, pois a única combinação linear que os zera tem coeficientes todos iguais a zero.

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