Sejam a1, cdots, an in R. Calcular os determinantes n times n seguintes :
D1=|cccc 1 & 1 & cdots & 1 a1 & a2 & cdots & an a1^2 & a2^2 & cdots & an^2 vdots & & & vdots a1^n-1 & a2^n-1 & cdots & an^n-1 |, D2=|ccccc a1 & a2 & a3 & cdots & an a2 & a2 & a3 & cdots & an a3 & a3 & a3 & cdots & an vdots & & & & vdots an & an & an & cdots & an |

Passo 1

A questão pede para calcular dois determinantes de ordem n. O primeiro, D₁, é justamente a matriz de Vandermonde cujas linhas são 1, (aᵢ), (aᵢ)², …, (aᵢ)ⁿ⁻¹. O conteúdo envolvido é teoria de determinantes e polinômios antissimétricos. Para resolver D₁ vamos usar as propriedades de simetria e grau de polinômios. O segundo determinante, D₂, tem entrada (i,j) igual a a_{max(i,j)}. Vamos ver como aplicar operações elementares para triangularizar e expandir.

Passo 2

Para D₁ note que permutar duas colunas troca o sinal do determinante e que, se aᵢ = aⱼ, então duas colunas ficam iguais e o determinante anula. Logo D₁ é um polinômio antissimétrico em {a₁,…,aₙ} e deve ser divisível por cada (aⱼ−aᵢ) para i<j. O grau total é 0+1+…+(n−1)=n(n−1)/2, mesmo grau do produto ∏_{1≤i<j≤n}(aⱼ−aᵢ). Comparando o coeficiente líder, conclui-se que
D1=prod1<= i

Passo 3

Para D₂, fazemos para i de n até 2 a operação de linha R_{i}←R_{i}−R_{i−1}. Como cada R_{i,j}=a_{\max(i,j)}, após a operação obtemos para i≥2: nas colunas j<i primeiro valor aᵢ−a_{i−1}, e zeros para j≥i. A linha 1 permanece (a₁,a₂,…,aₙ). Isso gera uma matriz onde só o elemento (1,n) é não nulo na última coluna. Expansão por cofator na coluna n dá
D2=(-1)^1+n,an,detd2&0&cdots&0d3&d3&cdots&0vdots& &ddots&dn&dn&cdots&dn,

Passo 4

com d_{k}=a_{k}-a_{k-1}. Essa matriz é triangular inferior de ordem n−1, cujo determinante é ∏_{k=2}^{n}d_{k}. Logo
D2=(-1)^n-1,an,prodk=2^n(ak-ak-1)=(-1)^n-1,an,prodi=1^n-1(ai+1-ai)

Resposta

D_{1}=\displaystyle\prod_{1\le i<j\le n}(a_{j}-a_{i}),\quad D_{2}=(-1){n-1},a_{n},\prod_{i=1}{n-1}(a_{i+1}-a_{i})

Exercícios relacionados