Seja
.
a. Provar que
.
b. Calcular
a. Provar que
b. Calcular
Passo 1
O enunciado define
omega=cos(2pi/3)+isin(2pi/3) e pede: provar que
1+omega+omega^2=0 e calcular os determinantes
O conteúdo envolve números complexos (raízes da unidade) e cálculo de determinantes.
Passo 2
Para mostrar que
1+omega+omega^2=0 usamos a fórmula de Euler e a ideia de raiz da unidade. Como
omega=e^2pi i/3 , temos
Logo
1,omega,omega^2 formam uma progressão geométrica cuja soma é
Passo 3
Para calcular
Como já vimos que
1+omega+omega^2=0 , segue
omega^2+omega=-1 . Portanto
D=-1 .
Passo 4
Para o determinante
reconhecemos uma matriz de Vandermonde com entradas
(1,omega,omega^2) . A fórmula diz
Passo 5
Agora fazemos as diferenças usando
omega^2+omega+1=0 :
Multiplicando,
então