Seja omega=cos (2 pi / 3)+i sin (2 pi / 3).
a. Provar que 1+omega+omega^2=0.
b. Calcular
D=|cc omega & omega -1 & omega | et D^prime=|ccc 1 & 1 & 1 1 & omega & omega^2 1 & omega^2 & omega |

Passo 1

O enunciado define omega=cos(2pi/3)+isin(2pi/3) e pede: provar que 1+omega+omega^2=0 e calcular os determinantes
D=omega&omega-1&omega, D'=1&1&11&omega&omega^21&omega^2&omega
O conteúdo envolve números complexos (raízes da unidade) e cálculo de determinantes.

Passo 2

Para mostrar que 1+omega+omega^2=0 usamos a fórmula de Euler e a ideia de raiz da unidade. Como omega=e^2pi i/3, temos
omega^3=e^2pi i=1
Logo 1,omega,omega^2 formam uma progressão geométrica cuja soma é
1+omega+omega^2=omega^3-1omega-1=0

Passo 3

Para calcular
D=omega&omega-1&omega=omegacdotomega-omegacdot(-1)=omega^2+omega
Como já vimos que 1+omega+omega^2=0, segue omega^2+omega=-1. Portanto D=-1.

Passo 4

Para o determinante
D'=1&1&11&omega&omega^21&omega^2&omega
reconhecemos uma matriz de Vandermonde com entradas (1,omega,omega^2). A fórmula diz
D'=(omega-1)(omega^2-1)(omega^2-omega)

Passo 5

Agora fazemos as diferenças usando omega^2+omega+1=0:
omega-1=-tfrac32+tfraciraiz32, omega^2-1=-tfrac32-tfraciraiz32, omega^2-omega=-iraiz3
Multiplicando,
(omega-1)(omega^2-1)=3,
então
D'=3cdot(-iraiz3)=-3iraiz3

Resposta

D=-1 e D'=-3iraiz3

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