Provar que para a, b e c números reais, temos:
|ccc a-b-c & 2 a & 2 a 2 b & b-c-a & 2 b 2 c & 2 c & c-a-b |=(a+b+c)^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M= a-b-c & 2a & 2a 2b & b-c-a & 2b 2c & 2c & c-a-b
és igual a (a+b+c)^3. O conteúdo aqui é propriedades de determinantes e operações elementares para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, usamos a operação de linha que não altera o determinante: somamos a segunda e a terceira linhas à primeira. Ou seja, fazemos
R1 R1 + R2 + R3
Então a nova primeira linha fica
(a-b-c + 2b + 2c, 2a + (b-c-a) + 2c, 2a + 2b + (c-a-b)) = (a+b+c,,a+b+c,,a+b+c)

Passo 3

Em seguida, fatoramos (a+b+c) da nova primeira linha. O determinante vira
det(M)=(a+b+c)det 1 & 1 & 1 2b & b-c-a & 2b 2c & 2c & c-a-b

Passo 4

Agora calculamos o determinante 3×3 por expansão na primeira linha. Chamando
D=det 1 & 1 & 1 2b & b-c-a & 2b 2c & 2c & c-a-b ,
vamos ter
D=1cdotdetb-c-a & 2b 2c & c-a-b -1cdotdet2b & 2b 2c & c-a-b +1cdotdet2b & b-c-a 2c & 2c

Passo 5

Calculando cada menor 2×2 e simplificando as somas de termos, encontra-se
D=(a+b+c)^2

Passo 6

Portanto,
det(M)=(a+b+c)times D=(a+b+c),(a+b+c)^2=(a+b+c)^3

Resposta

(a+b+c)^{3}

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