O enunciado pede o cálculo de três determinantes de matrizes de tamanho n: (1) uma matriz em que, para i≤j, m_{ij}=a_{j−i+1} e, para i>j, m_{ij}=a_1; (2) a matriz circulante de primeira linha (1,0,0,…,0,1); (3) a matriz cujo elemento diagonal é a+b e fora da diagonal é a. Vamos usar operações elementares e propriedades de circulantes e de matrizes do tipo aJ+bI.
Passo 2
Para o primeiro determinante D_n, note que se fizermos para i=1,…,n−1 a operação de linha R_i←R_i−R_{i+1}, a matriz se transforma em uma em que, nas linhas 1 a n−1, só aparece no bloco superior direito uma banda superior constante d_2=a_2−a_1, e a última linha fica (a_1,…,a_1). Expandindo pelo primeiro elemento da última linha, obtemos
No segundo caso, a matriz é circulante C=I+P, onde P é o deslocamento cíclico de uma posição. Os autovalores são λ_k=1+e^{-2πik/n}. Como para k=n/2 (n par) temos λ_{n/2}=0, det
C=0 se n é par; se n é ímpar não há autovalor zero e calcula-se
det C = prodk=0^n-1(1+e^-2pi ik/n) = 1+(-1)^n-1
Passo 4
Para o terceiro determinante, observe que a matriz M = aJ + bI, onde J é a matriz de todos os uns. Sabemos que J tem autovalor n (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade n−1), e I tem autovalor b. Logo M tem autovalor b+an (multiplicidade 1) e b (multiplicidade n−1), de onde
det M = b^n-1(b + an)
Resposta
(1) det = (-1)^n-1a1(a2-a1)^n-1
(2) det = 1 + (-1)^n-1, isto é, 0 para n par e 2 para n ímpar
(3) det = b^n-1(b + n,a)