Questão 2

Seja A B C um triangulo tal que |A B|=2,|A C|=raiz3 e A B cdot A C=raiz6
a. Calcular a area do triangulo.
b. Calcular [A B, A C, B C]. Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um triângulo ABC com |AB|=2, |AC|=raiz3 e ABcdotAC=raiz6. O objetivo é calcular a área do triângulo (usando produto vetorial) e o triplo escalar [AB,AC,BC].

Passo 2

Para achar a área, primeiro precisamos do ângulo theta entre AB e AC. Usamos a definição de produto escalar:
ABcdotAC=|AB|,|AC|costheta
Logo,
costheta=raiz62cdotraiz3=raiz62raiz3=raiz22

Passo 3

Agora obtemos sintheta via identidade trigonométrica:
sintheta=raiz1-cos^2theta=raiz1-l(tfracraiz22r)^2=raiztfrac12=raiz22

Passo 4

Com sintheta em mãos, a área do triângulo é dada por
área=tfrac12,|AB|,|AC|,sintheta=tfrac12cdot2cdotraiz3cdottfracraiz22=raiz62á

Passo 5

Para o triplo escalar, note que
BC=AC-AB
Então
$$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}]=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}]
=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}]-[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}]=0-0=0.$$
Isso também reflete que os três vetores são coplanares, logo o determinante é zero.

Resposta

Para a) raiz62. Para b) 0.

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