Considere os vetores e .
a. Encontre um vetor que seja ortogonal a e ao mesmo tempo.
b. Determine a area do paralelogramo de lados e .
c. é uma base do ? Se é uma base, ela é positiva? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá os vetores , e . O conteúdo envolve produto vetorial para achar um vetor ortogonal, norma do produto vetorial para área de paralelogramo, e produto escalar misto (determinante) para checar se é base de e qual a sua orientação.
Passo 2
Para encontrar um vetor ortogonal a e , usamos o produto vetorial:
Para ver se vec u,vec v,vec w é base e sua orientação, calculamos o produto escalar misto (determinante):
Como esse valor é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base de vec u,vec v,vec w]=det-2&2&-13&1&-29&21&24=-366.
Passo 5
O sinal negativo do produto escalar misto indica que essa base é de orientação negativa (não é positiva).
Resposta
a) Um vetor ortogonal a vec u e vec v é vec z=(-3,-7,-8).
b) A área do paralelogramo é raiz122.
c) Como o determinante [vec u,vec v,vec w]=-366neq0, os vetores formam base de R^3. O valor negativo indica que é uma base de orientação negativa (não positiva).