Questão 1

Considere os vetores u=-2 i+2 j+-k, v=3 i+1 j-2 k e w=9 i+21 j+24 k.
a. Encontre um vetor z que seja ortogonal a u e v ao mesmo tempo.
b. Determine a area do paralelogramo de lados u e v.
c. u, v, w é uma base do R^3 ? Se é uma base, ela é positiva? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec u=(-2,2,-1), vec v=(3,1,-2) e vec w=(9,21,24). O conteúdo envolve produto vetorial para achar um vetor ortogonal, norma do produto vetorial para área de paralelogramo, e produto escalar misto (determinante) para checar se vec u,vec v,vec w é base de R^3 e qual a sua orientação.

Passo 2

Para encontrar um vetor vec z ortogonal a vec u e vec v, usamos o produto vetorial:
vec z=vec utimesvec v= i&j&k -2&2&-1 3&1&-2
Calculando:
vec z=i(2cdot(-2)-(-1)cdot1)-j(-2cdot(-2)-(-1)cdot3)+k(-2cdot1-2cdot3)
vec z=(-3,-7,-8)

Passo 3

A área do paralelogramo gerado por vec u e vec v é o módulo de vec utimesvec v:
Área=|vec utimesvec v|=raiz(-3)^2+(-7)^2+(-8)^2=raiz9+49+64=raiz122Á

Passo 4

Para ver se vec u,vec v,vec w é base e sua orientação, calculamos o produto escalar misto (determinante):

Como esse valor é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base de vec u,vec v,vec w]=det-2&2&-13&1&-29&21&24=-366.

Passo 5

O sinal negativo do produto escalar misto indica que essa base é de orientação negativa (não é positiva).

Resposta

a) Um vetor ortogonal a vec u e vec v é vec z=(-3,-7,-8).
b) A área do paralelogramo é raiz122.
c) Como o determinante [vec u,vec v,vec w]=-366neq0, os vetores formam base de R^3. O valor negativo indica que é uma base de orientação negativa (não positiva).

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