Dado L subset V, prove que se dim(L)=dim(V). então L=V.

Passo 1

O enunciado diz que temos um subespaço L de um espaço vetorial V, ambos de dimensão finita, e que dim(L)=dim(V). O conteúdo é teoria de dimensão e base de espaços vetoriais, e vamos precisar usar que todo conjunto de vetores linearmente independente em V cuja cardinalidade é igual a dim(V) é na verdade uma base de V.

Passo 2

Seja n=dim(V)=dim(L) e tome B = u1, u2, dots, un uma base de L. Por definição de base, esses n vetores são linearmente independentes e geram L.

Passo 3

Como Bsubset Lsubset V, o conjunto B também é linearmente independente em V. Mas dim(V)=n, então qualquer conjunto com n vetores linearmente independentes em V necessariamente gera V. Portanto,
span(B) = V

Passo 4

Por um lado, span(B) = V. Por outro, como Bsubset L, temos span(B)subset L, ou seja, Vsubset L. Mas já sabíamos que Lsubset V. Assim, pelo duplo encadeamento, concluímos que L=V.

Resposta

L=V.

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