Dado
, prove que se
. então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um subespaço L de um espaço vetorial V, ambos de dimensão finita, e que
. O conteúdo é teoria de dimensão e base de espaços vetoriais, e vamos precisar usar que todo conjunto de vetores linearmente independente em V cuja cardinalidade é igual a
é na verdade uma base de V.
Passo 2
Seja
e tome
uma base de L. Por definição de base, esses
vetores são linearmente independentes e geram L.
Passo 3
Como
, o conjunto
também é linearmente independente em V. Mas
, então qualquer conjunto com
vetores linearmente independentes em V necessariamente gera V. Portanto,
Passo 4
Por um lado,
. Por outro, como
, temos
, ou seja,
. Mas já sabíamos que
. Assim, pelo duplo encadeamento, concluímos que
.
Resposta
L=V.