Calcular a diferencial das seguintes funções.
h(x)=4^x cdot raiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função
h(x)=4^x,raiz[4]x
Ou seja, queremos encontrar dh = h'(x),dx.
Para isso vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, de potência e a regra do produto.

Passo 2

Sejam
u(x)=4^x, v(x)=raiz[4]x=x^tfrac14
Primeiro calculamos u'(x). Lembrando que
ddxa^x=a^xln(a),
temos
u'(x)=4^xln(4)

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Usando a regra da potência
ddxx^n=n,x^n-1,
com n=tfrac14, obtemos
v'(x)=tfrac14,x^tfrac14-1 =tfrac14,x^-tfrac34

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
h'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =4^xln(4),x^tfrac14 +4^x,l(tfrac14,x^-tfrac34r)
Podemos fatorar 4^xx^-tfrac34:
h'(x) =4^xx^-tfrac34l(ln(4),x + tfrac14r)

Resposta

dh =h'(x),dx =4^xx^-tfrac34l(ln(4),x + tfrac14r),dx

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