2 - Calcular a diferencial das seguintes funções.
j(x)=ln (tg(x))

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função
j(x)=lnl(tg(x)r)
O conteúdo principal aqui é diferenciação de função composta, usando a regra da cadeia e a derivada de tg(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=tg(x),
de modo que
j(x)=lnl(u(x)r)
Pela regra da cadeia, a derivada é
j'(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Sabemos que
u'(x)=ddxl[tg(x)r]=sec^2(x)

Passo 4

Substituindo em j'(x)=tfracu'(x)u(x), vem
j'(x)=sec^2(x)tg(x)
Como tg(x)=tfracsin(x)cos(x) e sec(x)=tfrac1cos(x), temos
sec^2(x)tg(x) =1/cos^2(x)sin(x)/cos(x) =1sin(x),cos(x) =sec(x),csc(x)

Passo 5

A diferencial de j é
dj(x)=j'(x),dx,
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dj(x)=sec(x),csc(x),dx

Resposta

dj(x)=sec(x),csc(x),dx

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