2 - Calcular a diferencial das seguintes funções.
m(x)=log 5(raiz[3]sen(e^x))

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de
m(x)=log5l(raiz[3]sinl(e^xr)r)
O conteúdo envolvido é a derivada de uma composição de funções (logaritmo de base não-natural, raiz e seno composto com exponencial), então vamos usar as regras de logaritmo, mudança de base e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades de logaritmo:
m(x)=log5l(u^1/3r) com u=senl(e^xr)
Como log5(u^1/3)=tfrac13,log5(u), temos
m(x)=13,log5l(sen(e^x)r)

Passo 3

Agora aplicamos a mudança de base para transformar em logaritmo natural:
log5l(sen(e^x)r) =lnl(sen(e^x)r)ln(5)
Logo
m(x) =13,lnl(sen(e^x)r)ln(5) =13,ln(5);lnl(sen(e^x)r)

Passo 4

Para obter a derivada m'(x), derivamos
m(x)=13,ln(5);lnl(sen(e^x)r)
usando a regra da cadeia em ln(cdot):
ddxlnl(sen(e^x)r) =1sen(e^x);ddxl[sen(e^x)r] =1sen(e^x);cos(e^x);e^x
Portanto
m'(x) =13,ln(5);cos(e^x),e^xsen(e^x) =e^x3,ln(5);cotl(e^xr)

Passo 5

A diferencial dm relaciona-se com m'(x) como
dm=m'(x),dx
e finalmente obtemos
dm =e^x3,ln(5);cotl(e^xr),dx

Resposta

dm =e^x3,ln(5);cotl(e^xr),dx

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