Encontre a solução geral das equaçẽes diferenciais:
d yd t+3 t^2 y=e^-t^3+t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a solução geral da equação diferencial
dydt + 3t^2,y = e^-t^3 + t
Isso entra na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem, e o truque é usar o fator integrante. A ideia geral: identificar a equação como
dydt + P(t),y = Q(t),
achar o fator integrante mu(t)=e^integral P(t),dt e depois multiplicar tudo pra transformar o lado esquerdo numa derivada direta.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação no “formato padrão”:
dydt + underbrace3t^2P(t),y = underbracee^-t^3 + tQ(t)
Então P(t)=3t^2. O fator integrante é
mu(t) = e^integral 3t^2,dt = e^t^3

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^t^3. Fica assim:
e^t^3,dydt + 3t^2,e^t^3,y = e^t^3,e^-t^3 + t
No lado direito e^t^3e^-t^3+t = e^t. E o lado esquerdo é exatamente a derivada de l(e^t^3yr), porque
ddtl(e^t^3yr) = e^t^3dydt + l(3t^2e^t^3r)y

Passo 4

Agora integramos os dois lados em t:
ddtl(e^t^3yr) = e^t Longrightarrow integral ddtl(e^t^3yr),dt = integral e^t,dt
e^t^3y = e^t + C,
onde C é a constante de integração. Para isolar y, dividimos por e^t^3:
y = e^t + Ce^t^3 = e^-t^3 + t + C,e^-t^3

Resposta

boxedy(t) = e^-t^3 + t + C,e^-t^3,
que é a solução geral da equação dada.

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