Encontre a solução geral das equaçẽes diferenciais:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a solução geral da equação diferencial
Isso entra na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem, e o truque é usar o fator integrante. A ideia geral: identificar a equação como
achar o fator integrante e depois multiplicar tudo pra transformar o lado esquerdo numa derivada direta.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação no “formato padrão”:
Então P(t)=3t^2. O fator integrante é
mu(t) = e^integral 3t^2,dt = e^t^3
Passo 3
Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^t^3. Fica assim:
e^t^3,dydt + 3t^2,e^t^3,y = e^t^3,e^-t^3 + t
No lado direito e^t^3e^-t^3+t = e^t. E o lado esquerdo é exatamente a derivada de l(e^t^3yr), porque
ddtl(e^t^3yr) = e^t^3dydt + l(3t^2e^t^3r)y
Passo 4
Agora integramos os dois lados em t:
ddtl(e^t^3yr) = e^t Longrightarrow integral ddtl(e^t^3yr),dt = integral e^t,dt
e^t^3y = e^t + C,
onde C é a constante de integração. Para isolar y, dividimos por e^t^3: