Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
f(x)=raizx^2-4e^1 /(x-2)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função
f(x)=raizx^2-4e^1/(x-2)
e quer achar o domínio (onde ela faz sentido como número real) e suas raízes (valores de x que fazem f(x)=0).
Conteúdo: domínio de função com raiz quadrada e exponencial, condições de existência de radicando e proibição de divisão por zero.
O que vamos precisar:
  • Saber que, dentro da raiz, o valor tem de ser >=0.
  • Lembrar que e^u>0 para todo u, mas não podemos ter divisão por zero (seu expoente não pode ser infinito).
  • E que raizt=0 só quando t=0.

Passo 2

Determinar o domínio:
  1. Radicando >=0:
x^2-4e^1/(x-2);>=;0
Como e^1/(x-2)>0 para todo xneq2, a desigualdade fica só x^2-4>=0.
2) Resolver x^2-4>=0:
x^2-4>=0;Longrightarrow;(x-2)(x+2)>=0
isso dá x<=-2 ou x>=2.
3) Excluir o ponto x=2 porque ali o expoente 1/(x-2) vira infinito e dá divisão por zero.
Logo o domínio é
(-infty,-2];cup;(2,infty)

Passo 3

Encontrar as raízes ( f(x)=0):
raizx^2-4e^1/(x-2)=0 ;Longrightarrow; x^2-4e^1/(x-2)=0
Como o denominador e^1/(x-2) nunca é zero, basta x^2-4=0, ou seja x=pm2.
Mas lembrando o domínio, x=2 está excluído. Sobrou só
x=-2

Resposta

Domínio: ,(-infty,-2]cup(2,infty).
Raízes de f: -2.

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