Utilize as igualdades
sen(x+y)=sen x cos y+sen y cos x e cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y
válidas para todos x, y in R, para mostrar as seguintes identidades trigonométricas:
sen^2 x=1-cos (2 x)2.

Passo 1

O problema pede para mostrarmos a identidade
sin^2x = 1 - cos(2x)2
utilizando as fórmulas de soma de ângulos
sin(x+y)=sin xcos y+sin ycos x, cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y
Para isso, vamos primeiro obter a fórmula de ângulo duplo para o cosseno e depois isolar sin^2x.

Passo 2

Aplicando a fórmula de soma para cos(x+y) com y = x, temos
cos(2x) = cos(x+x) = cos xcos x ;-;sin xsin x = cos^2x - sin^2x

Passo 3

Lembrando a identidade pitagórica sin^2x + cos^2x = 1, podemos escrever cos^2x = 1 - sin^2x. Substituindo em cos(2x)=cos^2x-sin^2x, obtemos
cos(2x) = l(1 - sin^2xr) - sin^2x = 1 - 2,sin^2x

Passo 4

Agora basta isolar sin^2x. Da equação
cos(2x) = 1 - 2,sin^2x
temos
2,sin^2x = 1 - cos(2x) Longrightarrow sin^2x = 1 - cos(2x)2

Resposta

sin^2x = 1 - cos(2x)2

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