O que é a diferencial total?
Para uma função de duas variáveis z=f(x,y), a diferencial total dz é uma aproximação linear do incremento de z quando fazemos pequenos incrementos dx e dy. A fórmula é
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Em prova, use sempre essa fórmula: primeiro calcule as parciais, depois avalie no ponto e multiplique por dx e dy.
Passo 3
Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Temos z=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right). É produto de x^{2} por \operatorname{sen}\!(y/x), então usamos a regra do produto e a regra da cadeia para a segunda parte.
Primeiro, derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Então pela regra do produto:
Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora tratamos x como constante. Temos z=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right). A derivada da seno é \cos vezes a derivada do argumento \frac{y}{x} em relação a y, que é 1/x (porque x é constante). Logo
Avaliar as derivadas parciais no ponto (x,y)=(3,0).
Primeiro calcule os valores das funções trigonométricas no argumento \frac{y}{x}=\frac{0}{3}=0: \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1.
Interpretação rápida: quando x aumenta de 3 para 3,1 e y aumenta de 0 para 0,1, a variação aproximada de z é dz\approx 0,3. A diferencial fornece essa boa aproximação para incrementos pequenos.