Calcular a diferencial total da função:
z=x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right) para x=3, y=0, d x=d y=0,1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial total da função
z = x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right)
no ponto (x,y)=(3,0) com incrementos \,dx=dy=0,1.
Informações dadas:
z(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right),\quad x=3,\quad y=0,\quad dx=0,1,\quad dy=0,1.

Passo 2

O que é a diferencial total?
Para uma função de duas variáveis z=f(x,y), a diferencial total dz é uma aproximação linear do incremento de z quando fazemos pequenos incrementos dx e dy. A fórmula é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Em prova, use sempre essa fórmula: primeiro calcule as parciais, depois avalie no ponto e multiplique por dx e dy.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Temos z=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right). É produto de x^{2} por \operatorname{sen}\!(y/x), então usamos a regra do produto e a regra da cadeia para a segunda parte.
Primeiro, derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Então pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right) + x^{2}\cdot \frac{d}{dx}\!\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right].
Agora a derivada da seno composta: \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)\,u' com u=\frac{y}{x}. Como y é tratado como constante,
u'=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{d}{dx}\!(y\cdot x^{-1})=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
Substituindo:
\frac{d}{dx}\!\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right] =\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Multiplicando por x^{2} obtemos x^{2}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=-y\cos\!\left(\frac{y}{x}\right). Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right)-y\cos\!\left(\frac{y}{x}\right).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora tratamos x como constante. Temos z=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{y}{x}\right). A derivada da seno é \cos vezes a derivada do argumento \frac{y}{x} em relação a y, que é 1/x (porque x é constante). Logo
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2}\cdot \cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{1}{x} = x\cos\!\left(\frac{y}{x}\right).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x,y)=(3,0).
Primeiro calcule os valores das funções trigonométricas no argumento \frac{y}{x}=\frac{0}{3}=0: \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1.
Substituindo em \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(3,0)} =2\cdot 3\cdot \operatorname{sen}(0)-0\cdot \cos(0) =6\cdot 0 - 0 = 0.
Substituindo em \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(3,0)} =3\cdot \cos(0)=3\cdot 1=3.

Passo 6

Calcular a diferencial total dz usando a fórmula
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(3,0)}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(3,0)}\,dy.
Substituindo os valores encontrados e dx=dy=0,1:
dz = 0\cdot 0,1 + 3\cdot 0,1 = 0 + 0,3 = 0,3.
Interpretação rápida: quando x aumenta de 3 para 3,1 e y aumenta de 0 para 0,1, a variação aproximada de z é dz\approx 0,3. A diferencial fornece essa boa aproximação para incrementos pequenos.

Resposta

dz=0,3

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