Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes fornecidas:
Domínio implícito: para
temos
(para a raiz real) e para
é necessário
.
As perguntas: encontrar e
.
As perguntas: encontrar
Passo 2
O que significa derivada parcial e como vamos proceder (explicação didática):
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando só varia e é mantido constante. Analogamente, é a taxa de variação quando só varia e é constante. - Na prática, para obter
tratamos como uma constante e aplicamos as regras de derivação normais sobre . Para tratamos como constante. - Fórmulas que vamos usar (explicadas):
- Regra da potência/da cadeia: se
, então . Se tivermos , a derivada é . - Derivada da função
em relação a é . Se , aplicamos a regra da cadeia: .
- Regra da potência/da cadeia: se
- Vamos aplicar essas regras passo a passo às duas parcelas:
e .
Passo 3
Derivada parcial em relação a
: análise da primeira parcela
.
- Trate
como constante. Aplique a regra da cadeia com e . - Primeiro
. Então
- Como
é constante, . Portanto
(olha só: escrever
é o mesmo que
.)
Passo 4
Derivada parcial em relação a
: segunda parcela
.
- Defina
. Trata-se de com função de e . Para tratamos como constante. - Derivada da arctg:
. - Derivada de
em relação a é (pois é constante). - Pela regra da cadeia:
- Simplificando essa fração:
. Então
Passo 5
Somando as contribuições para
:
- Da parcela raiz tivemos
. - Da parcela arctg tivemos
.
Portanto
Podemos, se quisermos, fatorar
:
Passo 6
Agora
: vamos repetir o mesmo processo, tratando
como constante.
Para a primeira parcela
:
- Use regra da cadeia com
. Temos
- Como
é constante, . Logo
Passo 7
Para a segunda parcela
quando derivamos em relação a
:
- Novamente
. Agora é constante. - Derivada de
em relação a : . - Pela regra da cadeia:
- Simplificando como antes
, obtemos
Passo 8
Somando as contribuições para
:
- Da raiz:
. - Da arctg:
.
Portanto
Também podemos fatorar
:
Passo 9
Pequeno exemplo numérico para conferir (opcional, só para ver que os termos fazem sentido):
- Tomando
e (valores válidos porque e ):
Isso só confirma que as fórmulas geram valores numéricos coerentes.