Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
z=\sqrt{x y}+\operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z=\sqrt{x y}+\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: }z(x,y)=\sqrt{x y}+\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).çã
Domínio implícito: para \sqrt{x y} temos x y\ge 0 (para a raiz real) e para \operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right) é necessário y\neq 0.
As perguntas: encontrar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial e como vamos proceder (explicação didática):
  • A derivada parcial \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x varia e y é mantido constante. Analogamente, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação quando só y varia e x é constante.
  • Na prática, para obter \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} tratamos y como uma constante e aplicamos as regras de derivação normais sobre x. Para \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Fórmulas que vamos usar (explicadas):
    • Regra da potência/da cadeia: se h(t)=(t)^{1/2}, então h'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Se tivermos h(g(x)), a derivada é h'(g(x))\cdot g'(x).
    • Derivada da função \operatorname{arctg}(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Se u=u(x,y), aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Vamos aplicar essas regras passo a passo às duas parcelas: \sqrt{x y}=(x y)^{1/2} e \operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: análise da primeira parcela \sqrt{x y}=(x y)^{1/2}.
  • Trate y como constante. Aplique a regra da cadeia com t=x y e h(t)=t^{1/2}.
  • Primeiro h'(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y).
  • Como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y. Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\cdot y=\frac{y}{2\sqrt{x y}}.
(olha só: escrever (x y)^{-1/2} é o mesmo que \dfrac{1}{\sqrt{x y}}.)

Passo 4

Derivada parcial em relação a x: segunda parcela \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
  • Defina u=\dfrac{x}{y}. Trata-se de \operatorname{arctg}(u) com u função de x e y. Para \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante.
  • Derivada da arctg: \dfrac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Derivada de u=\dfrac{x}{y} em relação a x é \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{1}{y} (pois y é constante).
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^{2}}\cdot\frac{1}{y}.
  • Simplificando essa fração: 1+(\tfrac{x}{y})^{2}=\dfrac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}. Então
\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^{2}}\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Somando as contribuições para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}:
  • Da parcela raiz tivemos \dfrac{y}{2\sqrt{x y}}.
  • Da parcela arctg tivemos \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{2\sqrt{x y}}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Podemos, se quisermos, fatorar y:
\frac{\partial z}{\partial x}=y\left(\frac{1}{2\sqrt{x y}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 6

Agora \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}: vamos repetir o mesmo processo, tratando x como constante.
Para a primeira parcela \sqrt{x y}=(x y)^{1/2}:
  • Use regra da cadeia com t=x y. Temos
\frac{\partial}{\partial y}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y).
  • Como x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{x}{2\sqrt{x y}}.

Passo 7

Para a segunda parcela \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right) quando derivamos em relação a y:
  • Novamente u=\dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1}. Agora x é constante.
  • Derivada de u em relação a y: \dfrac{\partial u}{\partial y}=x\cdot(-1)y^{-2}=-\dfrac{x}{y^{2}}.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right).
  • Simplificando como antes \,1+(\tfrac{x}{y})^{2}=\tfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}, obtemos
\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 8

Somando as contribuições para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}:
  • Da raiz: \dfrac{x}{2\sqrt{x y}}.
  • Da arctg: -\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{2\sqrt{x y}}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Também podemos fatorar x:
\frac{\partial z}{\partial y}=x\left(\frac{1}{2\sqrt{x y}}-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 9

Pequeno exemplo numérico para conferir (opcional, só para ver que os termos fazem sentido):
  • Tomando x=1 e y=4 (valores válidos porque x y=4\ge0 e y\neq0):
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,4)}=\frac{4}{2\sqrt{4}}+\frac{4}{1+16}= \frac{4}{4}+\frac{4}{17}=1+\frac{4}{17}=\frac{21}{17}.
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,4)}=\frac{1}{2\sqrt{4}}-\frac{1}{1+16}=\frac{1}{4}-\frac{1}{17}=\frac{13}{68}.
Isso só confirma que as fórmulas geram valores numéricos coerentes.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{2\sqrt{x y}}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{2\sqrt{x y}}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

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