Calcule as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista
da função
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função é o produto de uma função que depende só de
, , e outra que depende só de , . - A notação
significa: primeiro derivar em relação a , depois em relação a , e por fim novamente em relação a . - Vamos calcular passo a passo
, depois , e finalmente .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Derivada parcial em relação a
: ao calcular tratamos como constante. Analogamente para . - Regra do produto (para derivadas parciais): se
então
mas se
não depende de
então
e fica mais simples.
- Regra da cadeia: se
então
No nosso caso
e
. Similar para
:
.
- Derivadas trigonométricas básicas:
e .
Passo 3
Calcular
. Como
não depende de
, ela é tratada como constante ao derivar em relação a
. Assim
Aplicando a regra da cadeia em
:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Agora diferenciamos
em relação a
. Na expressão
, o fator
é constante quando derivamos em
. Assim
Usando a regra da cadeia em
:
Logo
Passo 5
Calcular
. Diferenciamos
em relação a
. Na expressão
, o fator
é constante ao derivar em
. Assim
Aplicando a regra da cadeia em
:
Portanto
Passo 6
Checagem rápida (opcional mas boa para prova): podemos calcular
para ver se coincide (por teorema de Clairaut, quando as segundas derivadas são contínuas, as derivadas mistas permutam). Calculando
a partir de
:
Derivando em
:
que bate com
obtido antes — bom sinal de consistência.