Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x) \cdot \cos (3 y), f_{x y x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial mista f_{xyx} da função
f(x,y)=\operatorname{sen}(2x)\cdot \cos(3y).
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é o produto de uma função que depende só de x, \operatorname{sen}(2x), e outra que depende só de y, \cos(3y).
  • A notação f_{xyx} significa: primeiro derivar f em relação a x, depois em relação a y, e por fim novamente em relação a x.
  • Vamos calcular passo a passo f_x, depois f_{xy}, e finalmente f_{xyx}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Derivada parcial em relação a x: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante. Analogamente para \dfrac{\partial}{\partial y}.
  • Regra do produto (para derivadas parciais): se g(x,y)=u(x,y)\cdot v(x,y) então
\frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\cdot v + u\cdot \frac{\partial v}{\partial x},
mas se v não depende de x então \frac{\partial v}{\partial x}=0 e fica mais simples.
  • Regra da cadeia: se h(x)=\operatorname{sen}(u(x)) então
h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=2x e u'(x)=2. Similar para \cos(3y): \dfrac{d}{dy}\cos(3y)=-\sin(3y)\cdot 3.
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u) e \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\operatorname{sen}(u).

Passo 3

Calcular f_x. Como \cos(3y) não depende de x, ela é tratada como constante ao derivar em relação a x. Assim
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(2x)\cdot \cos(3y)\big) =\cos(3y)\cdot \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x).
Aplicando a regra da cadeia em \operatorname{sen}(2x):
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x)=\cos(2x)\cdot 2.
Portanto
f_x= \cos(3y)\cdot \big(2\cos(2x)\big)=2\cos(2x)\cos(3y).

Passo 4

Calcular f_{xy}. Agora diferenciamos f_x em relação a y. Na expressão f_x=2\cos(2x)\cos(3y), o fator \cos(2x) é constante quando derivamos em y. Assim
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2\cos(2x)\cos(3y)\big) =2\cos(2x)\cdot \frac{d}{dy}\cos(3y).
Usando a regra da cadeia em \cos(3y):
\frac{d}{dy}\cos(3y)=-\operatorname{sen}(3y)\cdot 3.
Logo
f_{xy}=2\cos(2x)\cdot \big(-3\operatorname{sen}(3y)\big)=-6\cos(2x)\operatorname{sen}(3y).

Passo 5

Calcular f_{xyx}. Diferenciamos f_{xy} em relação a x. Na expressão f_{xy}=-6\cos(2x)\operatorname{sen}(3y), o fator \operatorname{sen}(3y) é constante ao derivar em x. Assim
f_{xyx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-6\cos(2x)\operatorname{sen}(3y)\big) =-6\operatorname{sen}(3y)\cdot \frac{d}{dx}\cos(2x).
Aplicando a regra da cadeia em \cos(2x):
\frac{d}{dx}\cos(2x)=-\operatorname{sen}(2x)\cdot 2.
Portanto
f_{xyx}=-6\operatorname{sen}(3y)\cdot \big(-2\operatorname{sen}(2x)\big)=12\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(3y).

Passo 6

Checagem rápida (opcional mas boa para prova): podemos calcular f_{xxy} para ver se coincide (por teorema de Clairaut, quando as segundas derivadas são contínuas, as derivadas mistas permutam). Calculando f_{xx} a partir de f_x=2\cos(2x)\cos(3y):
f_{xx}=2\cdot \frac{d}{dx}\cos(2x)\cdot \cos(3y)=2\cdot(-2\operatorname{sen}(2x))\cos(3y)=-4\operatorname{sen}(2x)\cos(3y).
Derivando em y:
f_{xxy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-4\operatorname{sen}(2x)\cos(3y)\big)=-4\operatorname{sen}(2x)\cdot(-3\operatorname{sen}(3y))=12\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(3y),
que bate com f_{xyx} obtido antes — bom sinal de consistência.

Resposta

12\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(3y)

Exercícios relacionados