Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
f(x, y)=\operatorname{sen}\left[\cos \left(\frac{x-y}{2 z}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\sin\!\left(\cos\!\left(\frac{x-y}{2z}\right)\right).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função está escrita em termos de x e y. O símbolo z aparece na expressão, então o interpretamos como um parâmetro constante (isto é, trataremos z como constante ao tomar derivadas parciais em relação a x e y).
  • Precisamos encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (as derivadas parciais de primeira ordem).
  • Não vamos alterar a expressão nem assumir valores numéricos para z; todas as expressões ficarão em função de x, y e do parâmetro z.

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas (isso facilita o uso da regra da cadeia). Definimos funções intermediárias:
t=\frac{x-y}{2z},
v=\cos(t),
f=\sin(v).
Ou seja, f(x,y)=\sin\big(\,v\,\big) com v=\cos(t) e t=(x-y)/(2z).
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para obter \partial f/\partial x, multiplicamos as derivadas ao longo da composição:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial x}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial y}.
Vamos calcular cada fator passo a passo.

Passo 3

Derivada da camada exterior: f=\sin(v).
A regra básica: a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Portanto,
\frac{df}{dv}=\cos(v).
Interpretação: ao derivar a parte \sin(\cdot), mantemos o argumento e trocamos \sin por \cos.

Passo 4

Derivada da camada intermediária: v=\cos(t).
A regra básica: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Portanto,
\frac{dv}{dt}=-\sin(t).
Interpretação: ao derivar \cos(\cdot) ocorre o sinal negativo.

Passo 5

Derivadas da camada mais interna: t=\dfrac{x-y}{2z}.
Aqui tratei z como constante. Diferenciando em relação a x e a y:
  • Derivando em relação a x: o numerador x-y tem derivada 1 em relação a x, logo
\frac{\partial t}{\partial x}=\frac{1}{2z}.
  • Derivando em relação a y: o numerador x-y tem derivada -1 em relação a y, logo
\frac{\partial t}{\partial y}=-\frac{1}{2z}.
Observação: se z=0 a expressão não é definida; aqui assumimos z\neq 0.

Passo 6

Agora juntamos os fatores pela regra da cadeia para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} =\cos(v)\cdot\big(-\sin(t)\big)\cdot\frac{1}{2z}.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{2z}\,\cos(v)\,\sin(t).
Substituímos v=\cos(t) e t=\dfrac{x-y}{2z} para voltar à expressão original:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{2z}\,\cos\!\big(\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)\big)\,\sin\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big).

Passo 7

Fazemos o mesmo para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} =\cos(v)\cdot\big(-\sin(t)\big)\cdot\left(-\frac{1}{2z}\right).
Note os dois sinais negativos que se cancelam. Assim:
\frac{\partial f}{\partial y}=+\frac{1}{2z}\,\cos(v)\,\sin(t).
Substituindo v e t:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2z}\,\cos\!\big(\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)\big)\,\sin\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big).
Observação útil: compare as duas expressões e veja que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial x}, o que faz sentido pela simetria na combinação x-y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{2z}\,\cos\!\big(\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)\big)\,\sin\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2z}\,\cos\!\big(\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)\big)\,\sin\!\big(\tfrac{x-y}{2z}\big)

Exercícios relacionados