Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função está escrita em termos de
e . O símbolo aparece na expressão, então o interpretamos como um parâmetro constante (isto é, trataremos como constante ao tomar derivadas parciais em relação a e ). - Precisamos encontrar
e (as derivadas parciais de primeira ordem). - Não vamos alterar a expressão nem assumir valores numéricos para
; todas as expressões ficarão em função de , e do parâmetro .
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas (isso facilita o uso da regra da cadeia). Definimos funções intermediárias:
Ou seja,
com
e
.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para obter , multiplicamos as derivadas ao longo da composição:
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para obter
Analogamente,
Vamos calcular cada fator passo a passo.
Passo 3
Derivada da camada exterior:
.
A regra básica: a derivada de em relação a
é
. Portanto,
A regra básica: a derivada de
Interpretação: ao derivar a parte
, mantemos o argumento e trocamos
por
.
Passo 4
Derivada da camada intermediária:
.
A regra básica: a derivada de em relação a
é
. Portanto,
A regra básica: a derivada de
Interpretação: ao derivar
ocorre o sinal negativo.
Passo 5
Derivadas da camada mais interna:
.
Aqui tratei como constante. Diferenciando em relação a
e a
:
Aqui tratei
- Derivando em relação a
: o numerador tem derivada em relação a , logo
- Derivando em relação a
: o numerador tem derivada em relação a , logo
Observação: se
a expressão não é definida; aqui assumimos
.
Passo 6
Agora juntamos os fatores pela regra da cadeia para
:
Simplificando:
Substituímos
e
para voltar à expressão original:
Passo 7
Fazemos o mesmo para
:
Note os dois sinais negativos que se cancelam. Assim:
Substituindo
e
:
Observação útil: compare as duas expressões e veja que
, o que faz sentido pela simetria na combinação
.