Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\frac{y}{x}, f_{x x x}(-1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y}{x} e pede a terceira derivada parcial em relação a x no ponto (-1,1), isto é, calcular f_{xxx}(-1,1).\n
Informações relevantes:
\text{Função: } f(x,y)=\frac{y}{x}.çã
\text{Quantidade pedida: } f_{xxx}(-1,1).
Calma — vamos fazer isso passo a passo, tratando y como constante quando derivamos em relação a x.

Passo 2

Relembrando o conceito útil: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada considerando y como constante. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas, na prática, aplicamos as regras usuais de derivação (regra da potência, constantes multiplicativas, etc.) como se y fosse uma constante multiplicativa.

Passo 3

É conveniente reescrever a função usando potência para aplicar a regra da potência:
f(x,y)=\frac{y}{x}=y\cdot x^{-1}.
Aqui y é visto como uma constante multiplicativa ao derivar em x.

Passo 4

Calculemos a primeira derivada parcial em relação a x. Usando a regra da potência: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=-1 e a constante y permanece multiplicando:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(y x^{-1}\big)=y\cdot(-1)x^{-2}=-y x^{-2}.

Passo 5

Agora a segunda derivada parcial em relação a x. Diferenciamos f_x(x,y)=-y x^{-2} em x, lembrando que y é constante:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(-y x^{-2}\big)=-y\cdot(-2)x^{-3}=2y x^{-3}.

Passo 6

Em seguida, a terceira derivada parcial em relação a x. Diferenciamos f_{xx}(x,y)=2y x^{-3}:
f_{xxx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(2y x^{-3}\big)=2y\cdot(-3)x^{-4}=-6y x^{-4}.
Então obtivemos a expressão geral para a terceira derivada parcial.

Passo 7

Agora avaliamos essa expressão no ponto (-1,1). Substituímos x=-1 e y=1:
f_{xxx}(-1,1)=-6\cdot 1\cdot (-1)^{-4}.
Como (-1)^{-4}=1 (porque (-1)^4=1 e o inverso de 1 é 1), temos
f_{xxx}(-1,1)=-6\cdot 1\cdot 1=-6.

Resposta

-6

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