Calcule as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a terceira derivada parcial em relação a
no ponto
, isto é, calcular
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
Calma — vamos fazer isso passo a passo, tratando
como constante quando derivamos em relação a
.
Passo 2
Relembrando o conceito útil: a derivada parcial de
em relação a
é a derivada considerando
como constante. Formalmente,
mas, na prática, aplicamos as regras usuais de derivação (regra da potência, constantes multiplicativas, etc.) como se
fosse uma constante multiplicativa.
Passo 3
É conveniente reescrever a função usando potência para aplicar a regra da potência:
Aqui
é visto como uma constante multiplicativa ao derivar em
.
Passo 4
Calculemos a primeira derivada parcial em relação a
. Usando a regra da potência: se
, então
. Aqui
e a constante
permanece multiplicando:
Passo 5
Agora a segunda derivada parcial em relação a
. Diferenciamos
em
, lembrando que
é constante:
Passo 6
Em seguida, a terceira derivada parcial em relação a
. Diferenciamos
:
Então obtivemos a expressão geral para a terceira derivada parcial.
Passo 7
Agora avaliamos essa expressão no ponto
. Substituímos
e
:
Como
(porque
e o inverso de
é
), temos