Sejam r a reta X=(3,-4,0)+lambda(4,-3,-1) com lambda in R e s a reta lx+y+z=2 2 x+y-5 z=3. Calcular a distancia de r à s.

Passo 1

Temos a reta r dada por X = (3,-4,0) + lambda(4,-3,-1) e a reta s como interseção dos planos x+y+z=2 e 2x+y-5z=3. O assunto é encontrar a distância entre retas reversas no espaço. Vamos usar a fórmula:
d = |(P2 - P1)cdot(d1times d2)||d1times d2|

Passo 2

Na reta r, o ponto base é P1=(3,-4,0) e o vetor diretor é d1=(4,-3,-1). Nos planos que definem s, os vetores normais são n1=(1,1,1) e n2=(2,1,-5).

Passo 3

O vetor diretor d2 de s é dado por
d2 = n1 times n2 = (1,1,1)times(2,1,-5) = (-6,7,-1)

Passo 4

Para achar um ponto P2 em s, resolvemos o sistema. Tomando z=0, fica
x+y=2 2x+y=3
que dá x=1 e y=1. Logo P2=(1,1,0).

Passo 5

O vetor que liga P1 a P2 é
P2 - P1 = (1,1,0) - (3,-4,0) = (-2,5,0)

Passo 6

Agora calculamos o produto vetorial e sua norma:
d1 times d2 = (4,-3,-1)times(-6,7,-1) = (10,10,10),
|d1times d2| = 10raiz3

Passo 7

Substituindo na fórmula da distância:
d = |(-2,5,0)cdot(10,10,10)|10raiz3 = 3010raiz3 = raiz3

Resposta

raiz3

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