Calcular a distância entre os planos pi1: X=(1,2,-3)+lambda(1,-2,0)+t(0,0,2), lambda, t in R e pi2: X=(0,1,-1)+lambda(3,2,1)+t(1,0,2), lambda, t in R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre os planos pi1 e pi2 dados em forma paramétrica. Para isso precisamos encontrar, para cada plano, um vetor normal usando produto vetorial de seus dois vetores diretores e depois verificar se os planos são paralelos. Se não forem paralelos, eles se intersectam e a distância entre eles vale zero; caso fossem paralelos, usaríamos a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Para pi1 temos vetores diretores
v1 = (1,-2,0), v2 = (0,0,2)
O normal n1 é dado por
n1 = v1 times v2 = i&j&k 1&-2&0 0&0&2 = (-4,,-2,,0)
Podemos simplificar e usar n1=(2,1,0) como normal equivalente.

Passo 3

Para pi2 temos vetores diretores
v3 = (3,2,1), v4 = (1,0,2),
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n2 = v3 times v4 = i&j&k 3&2&1 1&0&2 = (4,,-5,,-2)
Agora comparamos n1=(2,1,0) e n2=(4,-5,-2). Como não existe escalar k tal que (2,1,0) = k,(4,-5,-2), os planos não são paralelos.

Passo 4

Dois planos não paralelos em R^3 necessariamente se intersectam em uma reta, portanto a menor distância entre eles é zero.

Resposta

A distância entre pi1 e pi2 é 0.

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