Estude a posição relativa e determine a distância entre os planos pi1: 2 x+y-3 z=6 e pi2:(-1,0,2)+lambda(1,-2,0)+mu(3,0,2), lambda, mu in R.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos e pede para estudar a posição relativa e, se forem paralelos distintos, calcular a distância entre eles.
O primeiro é
pi1:2x+y-3z=6
e o segundo está em forma paramétrica
pi2:(x,y,z)=(-1,0,2)+lambda(1,-2,0)+mu(3,0,2), lambda,muinR
Vamos usar vetores normais para ver se são paralelos e, em seguida, a fórmula de distância entre planos paralelos.

Passo 2

Para pi1, o vetor normal é
n1=(2,1,-3)
Para pi2, os vetores diretores são d1=(1,-2,0) e d2=(3,0,2). O normal é dado pelo produto vetorial
n2=d1times d2 =(1,-2,0)times(3,0,2) =(-4,-2,6)

Passo 3

Comparemos n2 com n1. Observa-se que
n2=-2,(2,1,-3)=-2,n1,
ou seja, n2 é múltiplo de n1. Portanto os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para ver se coincidem, escolho o ponto P0=(-1,0,2) de pi2 e verifico em pi1:
2(-1)+1cdot0-3cdot2 = -2 - 6 = -8 neq 6
Como P0 não satisfaz a equação de pi1, concluímos que os planos são paralelos e distintos.

Passo 5

A distância de um ponto P0 de pi2 até pi1colon2x+y-3z=6 é
dist =l|2(-1)+1cdot0-3cdot2 -6r|raiz2^2+1^2+(-3)^2 =|-14|raiz14 =raiz14

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.
A distância entre eles é raiz14.

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