Calcule a distância do ponto P=(0,2,3) à reta
r: x=y-14=-z-2

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(0,2,3) e a reta
r:;x=y-14=-,z-2
Queremos a distância de P a r. No espaço, essa distância é dada por
d ;=;l|APtimes vr||v|,
onde A é um ponto qualquer na reta e v é o vetor diretor de r.

Passo 2

Vamos reparametrizar r. Seja esse parâmetro ;t. Das igualdades
x=t, y-14=t, -z-2=t
segue
y=4t+1, z=-,t-2
Para t=0 obtemos um ponto
A=(0,1,-2)
e o vetor diretor, derivando em relação a t, é
v=(1,4,-1)

Passo 3

Formamos o vetor AP=PA de A até P:
AP=P-A=(0-0,;2-1,;3-(-2))=(0,1,5)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial APtimes v:
APtimes v = det i&j&k 0&1&5 1&4&-1 =(-21,,5,,-1)

Passo 5

Agora a norma desse produto é
l|APtimes vr| =raiz(-21)^2+5^2+(-1)^2 =raiz467,
e a norma de v é
|v| =raiz1^2+4^2+(-1)^2 =raiz18=3raiz2
Logo a distância fica
d =raiz4673raiz2 =raiz46718

Resposta

d = raiz4673raiz2

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