Calcular a distância entre os planos pi1: 2 x-2 y+z-5=0 e pi2: 4 x-4 y+2 z+14=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos pi1:2x-2y+z-5=0 e pi2:4x-4y+2z+14=0. Esse problema faz parte da geometria analítica espacial. Para resolver, vamos identificar os vetores normais, verificar o paralelismo e usar a fórmula de distância entre planos paralelos.

Passo 2

Extraímos os vetores normais das equações:
n1=(2,-2,1) para pi1 e n2=(4,-4,2) para pi2.
Como n2=2,n1, concluímos que os planos são paralelos.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de distância, precisamos que as duas equações tenham o mesmo vetor normal (a,b,c). Dividindo a equação de pi2 por 2, obtemos
2x-2y+z+7=0
Agora ambas usam (a,b,c)=(2,-2,1) e os termos independentes são d1=-5 e d2=7.

Passo 4

A fórmula para a distância entre os planos
ax+by+cz+d1=0 e ax+by+cz+d2=0
é
lvert d2-d1rvertraiza^2+b^2+c^2
Substituindo os valores:
lvert 7-(-5)rvertraiz2^2+(-2)^2+1^2 =12raiz4+4+1 =123 =4

Resposta

A distância entre os planos é 4.

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