Calcular a distância do ponto P0(1,2,3) à reta r: x-1-2=y2=z-2-1

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P0(1,2,3) a uma reta r no espaço. Esse problema usa conteúdo de geometria analítica em R^3, e a fórmula que vamos aplicar é
d = l|AP0times vr||v|,
onde A é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor de r.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica. Seja t o parâmetro, a partir de
x-1-2 ;=;y2;=;z-2-1=t
temos
x = 1-2t, y = 2t, z = 2 - t
Assim, um ponto em r é
A(1,0,2)(quando (t=0)),
e o vetor diretor é
v=(-2,,2,,-1)

Passo 3

Formamos o vetor AP0 que vai de A até P0:
AP0 = P0-A = (1-1,;2-0,;3-2) = (0,,2,,1)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
AP0times v = i & j & k 0 & 2 & 1 -2 & 2 & -1 = (-4,,-2,,4)

Passo 5

Agora a norma do vetor cruz e a norma de v são
l|AP0times vr| = raiz(-4)^2+(-2)^2+4^2 = raiz16+4+16 = 6,
|v| = raiz(-2)^2+2^2+(-1)^2 = raiz4+4+1 = 3
Logo, a distância é
d = 63 = 2

Resposta

A distância de P0 à reta r é 2.

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