Calcular a distância entre os planos k: x-3y+5z-6=0 e k: 2x-6y+10z-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre dois planos no espaço tridimensional. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos e a fórmula para a distância entre eles. Para resolver, vamos precisar entender as equações dos planos e como identificar se eles são paralelos. Se forem, podemos aplicar a fórmula apropriada para encontrar a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos dadas:
  • Primeiro plano: x - 3y + 5z - 6 = 0
  • Segundo plano: 2x - 6y + 10z - 1 = 0

Passo 3

Vamos observar os coeficientes de x, y e z em cada equação para determinar se os planos são paralelos. Os coeficientes formam os vetores normais dos planos:
  • Vetor normal do primeiro plano: n1 = (1, -3, 5)
  • Vetor normal do segundo plano: n2 = (2, -6, 10)

Passo 4

Notamos que n2 = 2 times n1 . Isso significa que os vetores normais são proporcionales, ou seja, os planos são paralelos. Quando os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles.

Passo 5

A fórmula para a distância D entre dois planos paralelos ax + by + cz + d1 = 0 e ax + by + cz + d2 = 0 é:
D = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 6

Vamos ajustar as equações para que tenham o mesmo vetor normal. Já que n2 = 2 times n1 , podemos dividir a segunda equação por 2 para facilitar:
2x - 6y + 10z - 12 = x - 3y + 5z - 12 = 0
Agora, as equações ficam:
  • Primeiro plano: x - 3y + 5z - 6 = 0 ( d1 = -6 )
  • Segundo plano ajustado: x - 3y + 5z - 12 = 0 ( d2 = -12 )

Passo 7

Aplicando a fórmula da distância:
D = | -12 - (-6) |raiz1^2 + (-3)^2 + 5^2 = | -12 + 6 |raiz1 + 9 + 25 = | 112 |raiz35 = 112raiz35 = 112raiz35

Passo 8

Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz35 :
D = 11 raiz352 times 35 = 11 raiz3570

Resposta

A distância entre os dois planos é 11 raiz3570 unidades.

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