Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre dois planos no espaço tridimensional. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos e a fórmula para a distância entre eles. Para resolver, vamos precisar entender as equações dos planos e como identificar se eles são paralelos. Se forem, podemos aplicar a fórmula apropriada para encontrar a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos planos dadas:
Primeiro plano:
Segundo plano:
Passo 3
Vamos observar os coeficientes de , e em cada equação para determinar se os planos são paralelos. Os coeficientes formam os vetores normais dos planos:
Vetor normal do primeiro plano:
Vetor normal do segundo plano:
Passo 4
Notamos que . Isso significa que os vetores normais são proporcionales, ou seja, os planos são paralelos. Quando os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles.
Passo 5
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Passo 6
Vamos ajustar as equações para que tenham o mesmo vetor normal. Já que , podemos dividir a segunda equação por 2 para facilitar:
Agora, as equações ficam:
Primeiro plano: ()
Segundo plano ajustado: ()
Passo 7
Aplicando a fórmula da distância:
Passo 8
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz35 :
D = 11 raiz352 times 35 = 11 raiz3570
Resposta
A distância entre os dois planos é 11 raiz3570 unidades.