Determine os valores de a e b para que os planos k1 : ax+by+4z-1=0 e k2: x-4y-2z+5=0 sejam paralelos.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos, k1 e k2 , e queremos descobrir os valores de a e b para que esses planos sejam paralelos. Para isso, precisamos saber sobre vetores normais de planos e como identificar se dois planos são paralelos.

Passo 2

Dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem proporcionais. O vetor normal de um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 é (A, B, C) .
Então, o vetor normal de k1 é (a, b, 4) e o de k2 é (1, -4, -2) .

Passo 3

Para que os vetores normais sejam proporcionais, deve existir um número real k tal que:
a = k cdot 1
b = k cdot (-4)
4 = k cdot (-2)

Passo 4

Vamos encontrar o valor de k usando a terceira equação:
4 = k cdot (-2) implies k = 4-2 = -2

Passo 5

Agora, usando k = -2 , encontramos a e b :
a = -2 cdot 1 = -2
b = -2 cdot (-4) = 8

Resposta

Os valores são a = -2 e b = 8 .

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