Calcular a distância entre o ponto A(1,2,3) e a plano k: x-3y+5z-6=0.

Passo 1

Estamos com o ponto A(1,2,3) e o plano k: x - 3y + 5z - 6 = 0. Vamos calcular a distância entre esse ponto e o plano. Para isso, vamos usar uma fórmula da geometria analítica que nos ajuda a encontrar essa distância usando os coeficientes da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano. A equação está na forma padrão Ax + By + Cz + D = 0, então temos:
  • A = 1
  • B = -3
  • C = 5
  • D = -6

Passo 3

A fórmula para calcular a distância d entre um ponto P(x0, y0, z0) e um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Vamos usar essa fórmula com os valores que temos.

Passo 4

Substituindo os valores do ponto A(1,2,3) na fórmula:
d = |1 cdot 1 + (-3) cdot 2 + 5 cdot 3 - 6|raiz1^2 + (-3)^2 + 5^2

Passo 5

Calculando o numerador:
1 cdot 1 = 1
-3 cdot 2 = -6
5 cdot 3 = 15
Somando tudo: 1 - 6 + 15 - 6 = 4
Então, o numerador é |4| = 4.

Passo 6

Agora, calculando o denominador:
raiz1^2 + (-3)^2 + 5^2 = raiz1 + 9 + 25 = raiz35

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores no cálculo da distância:
d = 4raiz35 = 4raiz3535

Resposta

A distância entre o ponto A(1,2,3) e o plano k é dfrac4raiz3535 unidades.

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