Calcular a distância entre o ponto A(1,2,3) e a reta que passa pela origem e pelo ponto B(-1,2,1).

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos que calcular a distância entre o ponto A(1,2,3) e uma reta que passa pela origem e pelo ponto B(-1,2,1) . Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como trabalhar com vetores, calcular o produto vetorial e usar as normas dos vetores para achar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vamos usar. A reta passa pela origem O(0,0,0) e pelo ponto B(-1,2,1) . O vetor que direciona essa reta é:
v = B - O = (-1, 2, 1)

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor que vai da origem até o ponto A . Esse vetor é:
u = A - O = (1, 2, 3)

Passo 4

Para encontrar a distância entre o ponto A e a reta, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial de u e v , e a norma de v . A fórmula é:
Distância = |u times v||v| â
Então, vamos calcular o produto vetorial u times v .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
u times v = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 2 & 1 = i(2 cdot 1 - 3 cdot 2) - j(1 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 2 - 2 cdot (-1))
= i(-4) - j(4) + k(4)
= (-4, -4, 4)

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores. Primeiro, a norma do produto vetorial:
|u times v| = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3
E a norma do vetor diretor v :
|v| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Resposta

Então, a distância entre o ponto A(1,2,3) e a reta que passa pela origem e pelo ponto B(-1,2,1) é:
Distância = 4raiz3raiz6 = 2raiz2 â
Portanto, a distância é 2raiz2 unidades.

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