Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(2,3,1) e é perpendicular ao plano k : x-2y+4z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto A(2, 3, 1) e que é perpendicular ao plano k: x - 2y + 4z = 0 . Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica no Espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar uma reta e um plano, especialmente quando a reta é perpendicular ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta perpendicular a um plano tem a direção paralela ao vetor normal desse plano. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a ele e pode ser lido diretamente da equação geral do plano.
No caso do plano k: x - 2y + 4z = 0 , o vetor normal n é formado pelos coeficientes de x , y e z . Então:
n = (1, -2, 4)

Passo 3

Agora que temos o vetor normal, sabemos que a direção da nossa reta será exatamente esse vetor [\vec{n} = (1, -2, 4)). Em seguida, usamos o ponto pelo qual a reta passa, que é , para montar as equações paramétricas.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde são as componentes do vetor de direção.

Passo 4

Aplicando os valores que temos:
  • Ponto A(2, 3, 1) fornece x0 = 2 , y0 = 3 , z0 = 1 .
  • Vetor de direção n = (1, -2, 4) fornece a = 1 , b = -2 , c = 4 .
Substituindo na fórmula das equações paramétricas:
x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 4t

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 4t
Onde t é o parâmetro.

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