Calcular a distância entre os planos k: x-3y+5z-6=0 e k: x-6y+10z-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre dois planos no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos. Primeiro, precisamos verificar se os planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula de distância entre eles.

Passo 2

Os planos dados são:
  • Plano k1: x - 3y + 5z - 6 = 0
  • Plano k2: x - 6y + 10z - 1 = 0
Para verificar se os planos são paralelos, vamos comparar os vetores normais deles. O vetor normal de um plano da forma ax + by + cz + d = 0 é n = (a, b, c) .
Então, temos:
  • Vetor normal de k1 : n1 = (1, -3, 5)
  • Vetor normal de k2 : n2 = (1, -6, 10)

Passo 3

Agora, vamos ver se n1 e n2 são múltiplos um do outro. Isso significa que existe um número k tal que n2 = k cdot n1 .
Comparando as componentes:
  • Para x : 1 = k cdot 1 k = 1
  • Para y : -6 = k cdot (-3) k = 2
  • Para z : 10 = k cdot 5 k = 2
Como nem todas as componentes têm o mesmo valor de k (1 e 2), os vetores não são múltiplos. Portanto, os planos não são paralelos.

Passo 4

Quando dois planos não são paralelos, eles se intersectam ao longo de uma linha, e nesse caso, a distância entre eles é zero, já que há pontos comuns entre eles.

Resposta

A distância entre os planos k1 e k2 é 0.

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