Determine o valor de a para que os planos k1 : ax+3ay+4z-1=0 e k2: x-4y-2z+5=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de a para que os planos k1 : ax + 3ay + 4z - 1 = 0 e k2 : x - 4y - 2z + 5 = 0 sejam perpendiculares. O conteúdo que vamos usar aqui é relacionado aos vetores normais dos planos e como eles se relacionam quando os planos são perpendiculares. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os vetores normais e como usar o produto escalar para verificar a perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Para qualquer plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 , o vetor normal é n = (A, B, C) .
Para o plano k1 , o vetor normal é:
n1 = (a, 3a, 4)
E para o plano k2 , o vetor normal é:
n2 = (1, -4, -2)

Passo 3

Agora, para que os dois planos sejam perpendiculares, seus vetores normais também precisam ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar é calculado assim:
n1 cdot n2 = a times 1 + 3a times (-4) + 4 times (-2)

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
a times 1 = a
3a times (-4) = -12a
4 times (-2) = -8
Então:
n1 cdot n2 = a - 12a - 8 = -11a - 8

Passo 5

Para que os vetores sejam perpendiculares, o produto escalar deve ser zero:
-11a - 8 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de a .

Passo 6

Resolvendo a equação:
-11a - 8 = 0 -11a = 8 a = 8-11 a = -811

Resposta

Então, o valor de a que faz com que os planos sejam perpendiculares é a = -811 .

Exercícios relacionados