Determine o valor de a para que os planos
:
e
sejam perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de
para que os planos
e
sejam perpendiculares. O conteúdo que vamos usar aqui é relacionado aos vetores normais dos planos e como eles se relacionam quando os planos são perpendiculares. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os vetores normais e como usar o produto escalar para verificar a perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Para qualquer plano da forma
, o vetor normal é
.
Para o plano
, o vetor normal é:
E para o plano
, o vetor normal é:
Passo 3
Agora, para que os dois planos sejam perpendiculares, seus vetores normais também precisam ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar é calculado assim:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar:
Então:
Passo 5
Para que os vetores sejam perpendiculares, o produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 6
Resolvendo a equação:
Resposta
Então, o valor de
que faz com que os planos sejam perpendiculares é
.